Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Уравнения Максвелла без производных и интегралов  Просмотрен 22

А.М. Пальти, доцент, кафедра общей и теоретической физики Физико-математического факультета Национального технического университета «КПИ» им. И.Сикорского

№4, 2017

 

ДЖЕЙМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
(1831–1879)

 

Известно, что уравнения электромагнетизма Максвелла не изучают в школе, потому что для их формулировки нужна достаточно сложная математика теории поля. Но оказывается, что можно написать эти уравнения без применения интегралов и частных производных.

Попробуем сделать это, обобщая хорошо известные школьнику понятия работы силы или потока жидкости. Для этого нам потребуется определение скалярного произведения векторов, тоже известное из школы. При этом мы обобщим понятия работы силы на произвольную траекторию, а поток жидкости рассмотрим через произвольно расположенную в пространстве площадку.

Вообще, откуда возникло известное из математики понятие скалярного произведения векторов? Выскажем предположение, которое возможно имеет исторические корни. Не исключено, что само понятие работы силы, введенное Ж. Понселе в 1826 году, и было кандидатом на предка скалярного произведения. А скалярное произведение ввел У. Гамильтон в 1846 году. Кстати, он не только изобрел кватернионы, но и дал свою математическую формулировку законам механики.

Действительно, сила, действующая перпендикулярно смещению, не выполняет в этом направлении никакой работы. Только составляющая силы – проекция её на это направление – дает вклад в работу.

Таким образом, скаляр

ΔА = (F, Δr ) (1)

где ΔА – небольшая работа, выполненная на малом перемещении Δr. А почему небольшая? Например, |Δr| может быть и 1км. Важно только то, что на этом расстоянии постоянным должно быть произведение F·Δr·cosα, где F, Δr и α – модули силы, перемещения и угол между ними.

Если перемещение происходит в произвольном направлении в пространстве, выражение (1) записывают несколько иначе, и тогда указанную работу называют циркуляцией вектора F вдоль перемещения Δr. Запишем это так:

ΔА ≡ ΔСF = (F, Δr).

Для дальнейшего изложения нам потребуется ещё одно важное понятие - мы имеем в виду понятие векторного поля. Сначала немного истории. Ещё Ньютону не нравился его закон всемирного тяготения по причине его нелокальности - если в какой-то точке пространства исчезла масса (произошла «аннигиляция»), то мгновенно исчезает и сила. Было бы понятнее, если бы действие с какой-то скоростью переносилось через пространство от точки к точке. Чтобы как-то обосновать эту нелокальность, Ньютон ввел жёсткое абсолютное (и абсолютно жёсткое) пространство, которое мгновенно передает действие на любое расстояние. Правда, экспериментально обосновать существование абсолютного пространства так до сих пор и не удалось.

МАЙКЛ ФАРАДЕЙ (1791–1867),
АНГЛИЙСКИЙ ФИЗИК, ХИМИК, ОСНОВОПОЛОЖНИК
СОВРЕМЕННОЙ КОНЦЕПЦИИ ПОЛЯ В
ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ, АВТОР РЯДА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ
ОТКРЫТИЙ, В ТОМ ЧИСЛЕ ЗАКОНА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ,
ЗАКОНОВ ЭЛЕКТРОЛИЗА, ЯВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЯ
ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ СВЕТА
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ, ОДИН ИЗ ПЕРВЫХ
ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ ВОЗДЕЙСТВИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
НА СРЕДЫ. В МАТЕМАТИКЕ ВВЁЛ ПОНЯТИЯ
«ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ», «СИЛОВЫЕ ЛИНИИ».

 

Выход нашел великий английский физик Майкл Фарадей, который предложил идею векторного поля. Если в законе Кулона величину одного из зарядов принять за единицу, а другой считать источником поля, то закон можно трактовать так, что каждой точке пространства можно приписать силу, которая действует на этот единичный заряд. Так вводится поле сил.

В нашем случае силу в каждой точке пространства называют напряжённостью электрического поля. Имея такое поле (оно зависит только от заряда источника и его расстояния от точки наблюдения), легко найти силу, которая действует со стороны источника на заряд любой величины: F = qE(Q,r), где Q и r – заряд источника и расстояние от него точки наблюдения силы.

Если траектория проходит в пространстве, где есть заряды, то на ней существует поле электрических сил. Например, электродвижущая сила на участке электрического контура является циркуляцией вектора напряжённости электрического поля вдоль этого участка

ΔСЕ = (Е, Δr).

В этом случае, как очевидно из сравнения с (1), это работа по перемещению вдоль Δr единичного положительного заряда.

Чтобы обобщить понятие «потока вектора», рассмотрим простой пример: воду, текущую в трубе. Пусть сначала скорость одинакова по всему сечению трубы (во всяком случае, всегда можно найти такой небольшой участок сечения, на котором скорость с определенной точностью постоянна). Понятно, что расход воды зависит от составляющей скорости вдоль оси трубы, а перпендикулярно к стенкам трубы вода не течет, поэтому составляющая скорости в этом направлении равняется нулю. Расход воды G через сечение трубы (в м3/с):

G = S·v,

где S – значение площади сечения трубы, v – скорость вдоль её оси (скалярное произведение скорости воды и нормали к площадке).

Чтобы описать расход воды сквозь произвольно расположенную в пространстве площадку, обобщим понятие расхода введениям вектора площадки S, модуль которого равняется площади |S| = S, а направление совпадает с нормалью к площадке:

РИС. 1 И 2.

 

Тогда расход G можно определить как скалярное произведение:

G ≡ ∆Fv = (v, ∆S),

его ещё называют «потоком вектора v через площадку ∆. Как и в случае работы, это площадка, на которой произведение v·∆S·cosα можно считать постоянным.

В этом определении учитывается то обстоятельство, что скаляр ∆Fv – расход воды – обусловлен только составляющей скорости вдоль оси трубы. Заметим, что какое бы не было сечение трубы для расхода ∆Fv важное значение имеет только сечение, перпендикулярное к оси трубы.

Другой пример – электрический ток, который на языке введённых понятий есть поток вектора плотности тока j в проводнике через сечение ориентированной площадки ∆S:

І = ∆Fj = (j, ∆S).

Если нужно найти полный поток сквозь поверхность (или циркуляцию вдоль определенного контура), то поле физической величины уже не является постоянным (на участке контура) и поэтому надо сложить отдельные потоки ∆FAi (или циркуляции ∆CAi):

FA = ∆FA1 + ∆FA2 +…+ ∆FAn или CA = ∆CA1 + ∆CA2 +…+ ∆CAn.

(заметим, что высшая математика имеет для этих сумм специальное название –определённый интеграл).

После проведённой подготовки уже несложно написать все уравнения электромагнитного поля Максвелла. Начнем с теоремы Гаусса, которая обобщает закон Кулона, её формулировка: поток вектора напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность равняется сумме зарядов qі, расположенных внутри неё (см. рис.3):

FE = (Е1∆S1 + Е2∆S2 + …) = (q1 + q2 + ...)/εо = q/εо,

где εо – электрическая постоянная; Е1, Е2, … – значения напряжённости в определённых точках поверхности оболочки; ∆S1, ∆S2, … – площадки возле этих точек, покрывающие всю поверхность оболочки, где модули произведений |Е1S1|, |Е2S2|, … постоянны, q – полный заряд внутри оболочки.

Следующее уравнение касается вектора магнитной индукции. Известно, что магнитных зарядов не существует, и это учитывается законом: поток вектора индукции магнитного поля В сквозь замкнутую оболочку равняется нулю:

FB = (В1Δr1 + В2Δr2 + …) = 0.

РИС. 3.

 

Дальше сформулируем закон электромагнитной индукции Фарадея: циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль любого связного (не имеющего вида «восьмерки») замкнутого контура Г равняется средней скорости уменьшения в единицу времени потока вектора индукции магнитного поля (обозначим эту скорость как ∆1) сквозь односвязную поверхность S, натянутую на этот контур:

CE = – ∆FB/∆t.

Немного сложнее (но не очень) формулируется ещё одно уравнение Максвелла - обобщение закона полного тока Ампера. Максвелл заметил, что в разомкнутой цепи переменного тока (например, которая содержит конденсатор) нужно учитывать воображаемый ток (по аналогии с поляризацией зарядов его называют током смещения), который обусловлен изменением заряда на обкладках конденсатора. Тогда последнее уравнение Максвелла можно сформулировать так: циркуляция вектора индукции магнитного поля вдоль некоторого замкнутого контура, который охватывает провода с током и конденсаторы, равна суммарному потоку плотности этих токов плюс средней скорости изменения потока вектора напряжённости электрического поля

CB = µо(Fj + εоFE/∆t )

где εо и µо – электрическая и магнитная постоянные. Таким образом, полная система уравнений Максвелла в системе единиц выглядит так:

FE = q/εо,

FB = 0.

CE = – ∆FB /∆t,

CB = µо(Fj + εоFE /∆t).

Сделаем небольшое историческое замечание.

Фарадей в своём письме, которое он просил открыть через 106 лет, пишет о том, что свет имеет электромагнитную природу и распространяется со скоростью 300 000 км/с. Этот результат Максвелл получил из своих уравнений уже через 10 лет после указанного завещания. Но чтобы написать волновое уравнение, из которого следует этот замечательный результат, нужно применить к уравнениям (1) – (4) уже немного больше математики - как раз те самые производные и интегралы.

В предсказании электромагнитных волн Максвелл обогнал своё время. Но он не мог знать того, что ещё в 1832 году Майкл Фарадей оставил в Лондонском королевском обществе для хранения в архиве запечатанный конверт с надписью "Новые воззрения, подлежащие хранению в архивах Королевского общества".

МАЙКЛ ФАРАДЕЙ ЗА ОПЫТАМИ В ЛАБОРАТОРИИ

Лишь через сто шесть лет в 1938 году этот конверт был вскрыт английскими учёными. На пожелтевшем листке содержались слова и мысли, которые потрясли всех собравшихся. Оказалось, что Фарадей уже ясно представлял себе то, что "индуктивные явления распространяются в пространстве с некоторой скоростью в виде волн". В этом бумажном листке от 12 марта 1832 года он написал: "Я пришёл к заключению, что на распространение магнитного воздействия требуется время, которое, однако, окажется весьма незначительным. Я полагаю также, что электрическая индукция распространяется точно таким же образом. Я полагаю, что распространение магнитных сил от магнитного полюса похоже на колебания взволнованной водной поверхности. По аналогии, я считаю возможным применить теорию колебаний к распространению электрической индукции. В настоящее время, насколько мне известно, никто из учёных, кроме меня, не имеет подобных взглядов".

P.S.

ДЖОРДЖ ГАБРИЕЛЬ СТОКС (1819 –1903),
АНГЛИЙСКИЙ МАТЕМАТИК, МЕХАНИК И
ФИЗИК-ТЕОРЕТИК ИРЛАНДСКОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ.
РАБОТАЛ В КЕМБРИДЖСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ,
ВНЁС ЗНАЧИТЕЛЬНЫЙ ВКЛАД В ГИДРОДИНАМИКУ И
ГАЗОДИНАМИКУ, ОПТИКУ И МАТЕМАТИЧЕСКУЮ
ФИЗИКУ. БЫЛ ЧЛЕНОМ МНОГИХ АКАДЕМИЙ,
В ТОМ ЧИСЛЕ ВОЕННО-МЕДИЦИНСКОЙ АКАДЕМИИ
В ПЕТЕРБУРГЕ.

 

Когда настоящая статья уже была принята к публикации, редактор заметил автору: работа, конечно, интересная, но есть какое-то впечатление незавершенности - чего-то не хватает. В самом деле, всё изложение построено только на двух основных понятиях: циркуляции вектора вдоль контура и потока вектора через площадку. Вроде бы разные понятия, но в основе обоих лежит скалярное произведение! Связаны ли они каким-то образом? Оказывается, такая связь существует.

Если задано поле векторов (в каждой точке пространства задан вектор), причём любой природы (не только электрической), то имеет место замечательная теорема Стокса: циркуляция вектора вдоль любой замкнутой связной (без самопересечений) линии равна потоку этого векторного поля через замкнутую поверхность с границей в виде этой линии (контура). При этом форма поверхности не имеет значения (свойство скалярного произведения). Это доказывается в математике. В простом случае, когда контур - окружность на плоскости, то соответствующая поверхность – это внутренность ограниченного ею круга. Интересно, что Джордж Стокс, видимо, считал указанную теорему достаточно простой и поэтому не опубликовал её доказательства. Но он использовал её в качестве вопроса к конкурсным экзаменам для студентов-математиков Кембриджского университета. Позже (и это, видимо, справедливо) за теоремой закрепилось его имя (примерно в 1850 году). Сегодня известно много доказательств этой, уже существенно обобщённой, теоремы с тем же именем.

Предыдущая статья:Украшения древних богинь или зачем богиням бусы? Следующая статья:Ритуал как торжественно официальный акт, Теоретическая часть
page speed (0.0162 sec, direct)