Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Для дифференциальных уравнений 1-го порядка  Просмотрен 28

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения довольно часто встречаются в различных прикладных задачах строительной механики, электротехники, исследовании разнообразных технологических процессов и поведения сложных инженерных систем. Характеристики соответствующих явлений, как правило, непрерывным образом зависят от времени и подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений с начальными условиями, то есть требуют решения задачи Коши. Подавляющее большинство возникающих на практике задач такого рода невозможно решить без использования вычислительной техники. Поэтому численные методы решения задачи Коши играют в инженерных и научно-технических расчетах особую роль.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной с начальным условием в точке :

(5.1)

Из теории дифференциальных уравнений известно, что если и непрерывны в окрестности точки , то в этой окрестности существует, и единственное, решение задачи Коши (5.1).

На первом этапе численного решения отрезок области непрерывного изменения аргумента заменяется набором дискретных точек , который называется сеткой. Сами точки называются узлами сетки, а величина - шагом сетки. Мы будем рассматривать такие сетки, у которых шаг постоянен, тогда

(5.2)

Следующий этап в построении численного метода состоит в замене задачи Коши ее дискретным аналогом - системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения сеточной функции , играющие роль приближений к значениям решения задачи Коши в узлах сетки.

 

Предыдущая статья:Оценка погрешности Следующая статья:Метод Эйлера
page speed (0.0201 sec, direct)