Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Метод Зейделя  Просмотрен 28

Другой итерационный способ решения систем линейных уравнений вида (2.4) носит имя Зейделя, и его можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Последовательные приближения строятся здесь по формуле

, где ; . (2.7)

 

Отличия двух методов хорошо иллюстрирует следующий пример:

Пример. Рассматривая систему трех уравнений с тремя неизвестными, которая приводилась выше, найдем ее решение методом Зейделя, оставляя каждый раз при вычислениях два знака после запятой:

Возьмем в качестве начального приближения . Тогда

, , , ...

Обратите внимание, что в методе Зейделя при вычислении используется уже найденное на этом шаге , а при вычислении используются и .

Приведенное решение показывает, что метод Зейделя быстрее сходится к решению, чем метод Якоби, однако в общем случае это неверно. Дело в том, что эти методы ориентированы на решение разных классов систем: метод Якоби - на системы с матрицами, близкими к диагональным, а метод Зейделя - на системы с матрицами, близкими к нижним треугольным.

 

Достаточные условия сходимости метода Зейделя формулируются следующей теоремой:

Если для , (2.8)

причем хотя бы для одного неравенство строгое, то итерационная последовательность (2.7) сходится к решению системы (2.1) при любом начальном приближении.

Докажем эту теорему для системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Пусть Приведем эту систему к виду, удобному для итераций: , тогда . Подставляя из первого уравнения во второе, получим:

(*)

для предыдущего шага итерации эта формула имеет вид

(**) Вычтем (**) из (*) и возьмем разность по абсолютной величине: . Аналогично можно получить, что
. Известно, что итерационная схема сходится, если при . Это означает, что при выполнении условий теоремы и схема сходится, что и требовалось доказать.

Предыдущая статья:Метод Якоби ( метод простой итерации ) Следующая статья:Задача аппроксимации функций
page speed (0.0183 sec, direct)