Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Метод Якоби ( метод простой итерации )  Просмотрен 19

Рассмотрим систему линейных уравнений (2.1). Пусть . Это позволяет выразить в каждом из уравнений и привести исходную систему уравнений к виду:

, где . (2.4)

Такую систему можно решить методом Якоби (методом простой итерации), строя последовательность приближений по следующему правилу:

, где ; . (2.5)

Идея решения системы (2.4) таким способом, очевидно, та же самая, что и для решения уравнений методом простой итерации с помощью формулы (1.6). По этой причине такой подход можно применять и для решения систем нелинейных уравнений. При решении систем уравнений итерационная последовательность представляет собой последовательность не чисел, а векторов N-мерного пространства. Очевидно, что и здесь эта последовательность может быть сходящейся или расходящейся. Этот вопрос решается на основании следующей теоремы о достаточном условии сходимости:

Если для , (2.6)

то итерационная последовательность (2.5) сходится к решению системы (2.1) при любом начальном приближении.

Другими словами, матрица коэффициентов исходной системы уравнений должна быть матрицей с диагональным преобладанием.

Пример. Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными и найдем ее решение методом Якоби, оставляя каждый раз при вычислениях два знака после запятой:

; преобразуем эту систему к виду (2.4)

Возьмем в качестве начального приближения . Тогда

, , , ...

Исходная система уравнений удовлетворяет условию (2.6), поэтому построенная последовательность будет сходиться к истинному решению системы ( ). Вычисления можно прекратить, когда достигнем значения n такого, что .

 

Предыдущая статья:Метод Гаусса Следующая статья:Метод Зейделя
page speed (0.0185 sec, direct)