Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Метод Гаусса  Просмотрен 26

Рассмотрим систему уравнений N-го порядка:

, где . (2.1)

В матричном виде эта система записывается в виде . Метод Гаусса изучался в курсе высшей математики, и напомним, что основная идея метода заключается в следующем.

1. Прямой ход метода Гаусса: исключая из всех уравнений, кроме первого, получаем в первом столбце коэффициентов матрицы нули во всех строках, кроме первой. Затем исключаем из всех уравнений, кроме первого и второго. Продолжая эти действия дальше, исключаем , ,... и приходим, наконец, к матрице треугольного вида.

2. Обратный ход метода Гаусса: последовательно исключаются из (N-1)-го уравнения, из (N-2)-го уравнения и т.д. Это приводит к диагональному виду матрицы коэффициентов и, соответственно к решению задачи.

Для составления программы, реализующей метод Гаусса, удобно пользоваться приведенными ниже формулами. Здесь вводятся вспомогательные матрица C размерности и вектор Y, состоящий из N элементов.

Сначала для прямого хода в цикле для К от 1 до N необходимо вычислять

(2.2)

Затем обратный ход метода позволяет получить решение в виде (2.3)

 

Замечание 1. Может случиться так, что во время вычислений встретился ведущий элемент ( ), равный нулю. Это приведет к ошибке и программному прерыванию (деление на нуль). Такое бывает, например, в том случае, когда исходная система вырождена, то есть ее главный определитель равен нулю, и тогда либо решения нет, либо существует бесконечное множество решений.

Замечание 2. Даже если главный определитель системы ненулевой, ведущий элемент может оказаться равным нулю, что опять приведет к ошибке. Поэтому рекомендуется применять модификацию метода Гаусса - алгоритм с выбором главного элемента. В этом случае на каждом шаге матрица коэффициентов преобразуется так, чтобы на месте ведущего элемента оказывался наибольший по абсолютной величине элемент строки. Кроме гарантии от ошибки применение метода с выбором главного элемента может существенно уменьшить погрешность вычислений.

Замечание 3. Количество арифметических действий в методе Гаусса растет с увеличением порядка системы .

Предыдущая статья:Численное решение систем линейных уравнений Следующая статья:Метод Якоби ( метод простой итерации )
page speed (0.0139 sec, direct)