Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Сходимость  Просмотрен 28

Рассматривая итерационные методы решения нелинейных уравнений, мы оставили в стороне вопрос о сходимости итерационных последовательностей. Ведь вполне может получиться так, что при . При реализации алгоритма на компьютере это приведет к типичной ошибке (переполнение с плавающей точкой) и программному прерыванию. Для выяснения условий сходимости служит следующая теорема:

Пусть в некоторой окрестности корня уравнения (1.5) функция дифференцируема и удовлетворяет неравенству

, (1.7)

где - некоторая постоянная величина. Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной окрестности корня итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод (1.6) сходится со скоростью геометрической прогрессии, и справедлива следующая оценка погрешности: .

Замечание. Для практического применения метода простой итерации и выбора начального приближения часто используют условие .

Пример.Пусть необходимо найти положительный корень уравнения . Как видно, производная правой части этого уравнения больше единицы для положительных , и метод простой итерации приведет к расходящейся последовательности. Тогда исходное уравнение необходимо преобразовать так, чтобы удовлетворить условию сходимости. В данном случае, например, можно представить его в виде .

Отсюда легко выводится аналогичное условие сходимости для метода Ньютона. Сравнивая формулы (1.2) и (1.6), можно представить решение уравнения (1.1) методом Ньютона как решение уравнения (1.5) методом простой итерации с функцией . Дифференцируя эту функцию, получим, что . Таким образом, условие сходимости для метода Ньютона выглядит как .

 

Для реализации итерационных методов приближенного решения нелинейных уравнений остается лишь запрограммировать формулы (1.2), (1.3), (1.4) или (1.6) получения последовательных приближений. Рекомендуется использовать цикл repeat...until, причем выход из цикла осуществить при выполнении условия , где -заданная точность.

 

Предыдущая статья:Метод простой итерации Следующая статья:Численное решение систем линейных уравнений
page speed (0.0202 sec, direct)