Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Математическое моделирование  Просмотрен 19

 

Методы исследования каких-либо явлений и объектов традиционно разделяются на теоретические и экспериментальные. С широким распространением компьютеров за последние десятилетия получили развитие новые методы, основанные на проведении вычислительного эксперимента.

Определение 1: вычислительным экспериментом называется метод исследования, основанный на построении и анализе с помощью компьютера математической модели изучаемого объекта (рис. 1).

Определение 2: математическая модель – это основные законы, управляющие поведением объекта исследования, выраженные в виде уравнений или систем уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных, в частных производных и т.д.)

 

Схема вычислительного эксперимента:

 

Рис.1.

 

На первом этапе записываются уравнения, определяющие поведение и состояние объекта исследования, определяются исходные данные, параметры, которые могут изменяться и т.д. Таким образом формируется математическая модель.

Далее следует выбрать тот метод, который наилучшим образом приводит к решению поставленной задачи. Здесь рассматриваются численные (приближенные) методы, ведь в подавляющем большинстве случаев при решении практических задач решение в аналитическом виде получить не удается. Мы должны также здесь учитывать такие факторы, как быстродействие, объем памяти компьютера, точность вычислений и т.д. Выбрать наилучший для данной задачи метод и составить вычислительный алгоритм – в определенной степени искусство и требует достаточного практического навыка.

Пусть, наконец, выбран подходящий метод решения. Теперь необходимо составить программу, которая реализует данный алгоритм. Какой язык программирования выбрать? Это определяется характером построенной математической модели. Так, Visual Basic удобен для простых задач, которые не требуют высокого быстродействия компьютера и не требуется составления сложных программ с большим количеством процедур, функций, разветвлений. В других случаях предпочтительны Delphi, C++ или FORTRAN. У каждого из названных языков программирования есть свои плюсы и минусы.

Необходимо отметить, что существуют достаточно полные библиотеки стандартных процедур и функций, реализующих самый широкий набор вычислительных алгоритмов. Использование таких библиотек часто бывает предпочтительнее и не требует "изобретения велосипеда". Однако исследователь, сам программирующий, имеет, тем не менее, ряд преимуществ. Во-первых, для своей конкретной задачи он может составить более эффективный алгоритм с учетом ее особенностей.

Во-вторых, он лучше будет представлять решение задачи, а значит, и объект исследования. Наконец, такой путь может привести к новым идеям и подходам.

Когда программа составлена и отлажена, ее можно проверить в работе при различных входных параметрах. Результаты расчетов могут определить стратегию по выбору наилучших значений этих параметров. Таким образом, корректируется исходная задача (происходит воздействие на объект исследования, стрелка 5 1 ).

 

При проведении расчетов неминуемо появляются ошибки, или погрешности. Их можно разделить на три группы:

погрешность модели, связанная с идеализацией объекта. Мы не можем (и не должны) учитывать абсолютно все. Необходимо выделить главное, второстепенное, и чем-то несущественным пожертвовать. Иначе могут слишком серьезно усложниться исходные уравнения, а это выйдет намного дороже и по времени, и по трудозатратам, при этом мы даже можем не получить выигрыша в точности.

погрешность метода. При расчетах часто приходится непрерывные функции представлять значениями в некоторых точках (узлах). Такое представление называется дискретизацией. В промежутках между этими точками функции определены приближенно - с погрешностью. Эта погрешность в процессе вычислений может накапливаться, возрастать и повлияет на результат.

вычислительная погрешность возникает с округлением чисел. Переменные действительного (real) типа хранятся в памяти компьютера в виде "мантисса-порядок" и занимают от 4 до 8 байтов (в Турбо-Паскале, например, 6 байтов). Это приводит к тому, что часть значащих цифр теряется. Погрешность округления также может накапливаться и расти с ростом объема вычислений. Снизить эти эффекты может применение переменных с двойной точностью.

Здесь мы ограничимся далеко не всей теорией численных методов, а рассмотрим наиболее часто встречающиеся задачи и методы их решения:

нелинейные уравнения;

системы линейных уравнений;

приближение функций многочленами;

численное интегрирование;

численное решение задачи Коши.

 

 

Предыдущая статья:ЧЕЛОВЕК ИЗ ФЕВРАЛЯ Следующая статья:Решение нелинейных уравнений
page speed (0.0119 sec, direct)