Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Решения систем линейных алгебраических уравнений  Просмотрен 50

 

Литература: [1]‚ гл. V‚ § 4

[2]‚ § 4

[9]‚ гл. 2, § 2.3

 

Основная идея метода Гаусса − последовательное исключение неизвестных.

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из ступенчатой системы.

На практике удобнее работать не с системой, а с ее расширенной матрицей, выполняя элементарные преобразования над ее строками.

Сущность метода проиллюстрируем на примере решения системы из трех уравнений с тремя неизвестными.

Пример 10. Решить методом Гаусса систему уравнений

Решение. Данной системе соответствует расширенная матрица

.

Приводим ее к ступенчатому виду (прямой ход):

~ ~ ~ ~

~ .

Получили ступенчатую матрицу треугольного вида: число ее ненулевых строк равно числу неизвестных. Следовательно, система совместна и имеет только одно решение. Полученной матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

Теперь осуществим обратный ход. Из последнего уравнения системы имеем

.

Подставляя это значение во второе уравнение, находим

.

Наконец, из первого уравнения, с учетом найденных значений y и z, получаем

.

Итак, система имеет единственное решение:

.

Таким образом, если число уравнений в полученной ступенчатой системе равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Все неизвестные в этом случае определяются последовательно, начиная с последнего.

Если же число уравнений в ступенчатой системе меньше числа неизвестных ( ), то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае неизвестные x1, x2,…, xn могут быть выражены через остальные неизвестные.

Система не имеет решений, если одно из уравнений имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты в левой части равны нулю, т. е. если при преобразованиях получаются уравнения вида

где .

Этому случаю соответствует появление в ступенчатой матрице строки вида

.

Предыдущая статья:Систем линейных алгебраических уравнений Следующая статья:Векторы. Линейные операции над векторами
page speed (0.0289 sec, direct)