Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Систем линейных алгебраических уравнений  Просмотрен 50

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2, …, xn:

Составим две матрицы:

и ,

где А − основная матрица системы, В − расширенная матрица системы.

Условие совместности любой линейной алгебраической системы определяется теоремой Кронекера-Капелли: для того, чтобы линейная алгебраическая система уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы системы, т. е. .

При этом возможны два случая:

а) , тогда система имеет единственное решение;

б) , тогда система имеет бесконечное множество решений (при этом r неизвестных являются основными, остальные n - r неизвестных – свободными, им можно придавать произвольные значения, в зависимости от которых принимают значения основные переменные).

Пример 8. Исследовать на совместность систему уравнений

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы. Для удобства запишем их в виде

.

Здесь до вертикальной черты имеем основную матрицу системы, а вся матрица − расширенная. Для определения ранга матриц приведем их к ступенчатому виду.

~ ~ ~ .

У основной матрицы, приведенной к ступенчатому виду, три ненулевые строки ( ), у расширенной − четыре ( ). Так как , система не совместна.

Пример 9. Исследовать на совместность систему линейных уравнений, и, если система совместна, найти ее решение

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы, определим ранг, приведя их к ступенчатому виду

~ ~ .

Отсюда (так как у основной матрицы А и расширенной матрицы В после приведения к ступенчатому виду по две нулевых строки). Следовательно, число основных неизвестных равно двум. В качестве таковых можно взять x1 и x2, так как коэффициенты при них в ступенчатой матрице образуют минор, отличный от нуля 0 и, следовательно, определяют ранг основной и расширенной матриц. Тогда переменные x3 и x4 свободные. Им можно придавать произвольные значения. Например, x3=α, x4=β ( ).

Решение системы найдем, пользуясь ступенчатой расширенной матрицей. Ей соответствует система вида

Оставим слева основные переменные, а свободные перенесем вправо, заменив их значениями α и β:

Из последнего уравнения этой системы .

Подставив найденное значение x2 в первое уравнение, получим

.

Итак, решение системы имеет вид

.

 

Предыдущая статья:Ранг матрицы Следующая статья:Решения систем линейных алгебраических уравнений
page speed (0.0161 sec, direct)