Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Линейных алгебраических уравнений  Просмотрен 58

 

Литература: [1]‚ гл. V‚ § 5

[2]‚ § 15

[9]‚ гл. 2, § 2.4

 

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0. В противном случае (т.е. когда определитель матрицы равен 0) матрица называется вырожденной.

Матрица называется обратной матрице , если для нее выполняется условие

.

где Е − единичная матрица того же порядка, что и матрица .

Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Рассмотрим процесс построения обратной матрицы для матрицы 3-го порядка:

.

Вычисляем определитель det A этой матрицы. Он должен быть отличен от нуля. Затем находим алгебраические дополнения элементов матрицы А (А11, А12, ..., Аnn). Из них строим присоединенную матрицу по следующему правилу: алгебраические дополнения элементов строк матрицы А составляют соответствующие столбцы матрицы :

.

Обратную матрицу получаем по формуле:

.

Для матрицы А размерности обратная матрица имеет вид:

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

Построим следующие матрицы:

, , .

Здесь А − основная матрица системы, X − матрица-столбец неизвестных, В − матрица-столбец свободных членов уравнений системы.

Тогда, используя операцию умножения матриц, данную систему можно представить в матричном виде

Пусть , тогда для матрицы существует обратная матрица .

Для нахождения элементов неизвестной матрицы умножим слева полученное матричное уравнение на матрицу :

Так как , а , то получим

Пример 6. Решить матричным способом систему уравнений

Решение. Основная матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных, имеет вид

.

Вначале убедимся, что эта матрица невырожденная. Для этого вычислим ее определитель:

Значит, для матрицы существует обратная матрица .

Обозначим через матрицу-столбец из неизвестных и через В − матрицу-столбец из свободных членов уравнений системы:

, .

Тогда заданную систему уравнений можно записать в матричном виде , откуда .

Строим обратную матрицу .

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

, , ,

, , ,

, , .

Записываем присоединенную матрицу

Тогда обратная матрица имеет вид

.

Для проверки правильности построения обратной матрицы нужно проверить, выполняются ли равенства и :

 

Равенство проверяем аналогично.

Находим неизвестную матрицу X

 

.

 

Элементы матрицы составляют решение заданной системы уравнений, т.е. .

 

 

Предыдущая статья:Линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера Следующая статья:Ранг матрицы
page speed (0.0188 sec, direct)