Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Матрицы. Действия над матрицами  Просмотрен 47

 

Литература: [1], гл. V, §§ 1, 5

[2], §§ 3, 15

[9], гл. 2, § 2.4

 

Матрицей размерности называется прямоугольная таблица, состоящая из элементов, расположенных в m строках и n столбцах. Обозначается матрица следующим образом:

или .

Элементы матрицы (первый индекс i − номер строки, второй индекс j − номер столбца) могут быть числами, функциями и т. п. Матрицы обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например, , .

Матрица называется квадратной, если у нее число строк равно числу столбцов (m = n). В этом случае число n называется порядком матрицы, а сама матрица называется матрицей n-го порядка.

Элементы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ квадратной матрицы, а элементы (т.е. имеющие сумму индексов, равную n+1) − побочную диагональ.

Единичной матрицей называется квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, а остальные элементы равны 0. Она обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка имеет вид

.

Нулевая матрица − это матрица, все элементы которой равны 0. Нулевая матрица может быть любого размера.

 

К числу линейных операций над матрицами относятся:

1) сложение матриц;

2) умножение матриц на число.

Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковой размерности.

Суммой двух матриц А и В называется матрица С, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В:

.

Произведением матрицы А на число kназывается матрица В, все элементы которой равны соответствующим элементам данной матрицы А, умноженным на число k:

.

Пример 1. Даны две матрицы

и .

Найти матрицу C = 2AB.

Решение.

Операция умножения матриц вводится для матриц, удовлетворяющих условию: число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Произведением матрицы А размерности на матрицу В размерности называется матрица С размерности , элемент i-ой строки и j-го столбца которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

.

Произведение матриц (в отличие от произведения действительных чисел) не подчиняется переместительному закону, т.е. в общем случае А В В А.

Пример 2. Найти произведение АВ матриц

и .

Решение. Матрица А имеет размерность 3×4, а матрица В − 4×2. Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то матрицу А можно умножить на матрицу В (обратите внимание, матрицу В на матрицу А умножить нельзя). При этом получаем матрицу С = АВ размерности 3×2. Ее элементы:

 

Итак,

.

 

Предыдущая статья:Тема 2. Введение в математический анализ Следующая статья:Определители. Свойства определителей
page speed (0.0127 sec, direct)