Методы оптимальных решений: учебно-методическое пособие
15
Методы оптимальных решений: учебно-методическое пособие / В. Ф. Казак, Е. В. Морозова, И.Э. Симонова; ВолгГТУ. – Волгоград, 2016. – 110 с.
Излагается теоретическое обоснование методов математического моделирования (основные понятия, теоремы, алгоритмы) и приводятся примеры их применения.
Предназначено в помощь студентам, изучающим дисциплины «Методы оптимальных решений», «Теория принятия решений» и др..
Введение. Предмет математического программирования
Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится находить наилучшие в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. До недавнего времени большинство таких задач решалось, исходя из здравого смысла и опыта лиц, принимающих решения или просто «на глаз». При таком подходе не было и не могло быть никакой уверенности, что найденный вариант наилучший, а при современных масштабах производства даже незначительные ошибки оборачиваются громадными потерями. В связи с этим возникла необходимость применять для анализа экономической ситуации математические методы и вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим названием математическое программирование или математическое моделирование.
Математическое программирование − область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область определения этих переменных. Функция, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называется целевой функцией или показателем эффективности, или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель задачи.
Математическая модель задачи – это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д. Модель задачи математического программирования включает:
1)совокупность неизвестных величин , действуяна которые, систему можно совершенствовать. Её называют планом задачи (вектором управления, решением, стратегией, поведением и т. д.);
2) целевую функцию (она позволяет выбирать наилучший вариант из множества возможных). Её обозначают Z = Z (х). Это может быть прибыль, объем выпуска или реализация продукции, затраты производства, издержки и т. д.;
3) условия (или систему ограничений), налагаемые на неизвестные величины; эти условия могут быть материальные, финансовые, трудовые ресурсы, возможности технического и научного потенциала. Математические ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (ОДР). Если ОДР обозначим заq, то модель задачи математического программирования примет вид:
mах (min) Z = Z ( },
Î Q.
Илив развернутом виде: найти план = (х1 ... хn), доставляющий экстремальное значение целевой функции z при ограничениях ji (х1 ... хn){£ = ³} Bi. Из экономических соображений на план задачи налагаются условия неотрицательности хi ³ 0, иногда целочисленности. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным.
Начало математического программирования было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Канторовичем. Составными частями математического программирования являются линейное, нелинейное, дискретное, динамическое программирование, а также теория игр и графов.