Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

Исследование функции с помощью производной  Просмотрен 41

1. Необходимое условие возрастания и убывания функции.

Т1. Если дифференцируемая функция возрастает ( ) на сегменте , то ее первая производная . Если дифференцируемая функция ( ) убывает на сегменте , то ее первая производная .

2. Достаточное условие возрастания и убывания функции.

Т2. Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале . Если ее первая производная , то функция возрастает на сегменте . Если ее первая производная , то функция убывает на сегменте .

3. Условия постоянства функции на сегменте .

Т3. Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале . Если ее первая производная , то функция постоянна на сегменте .

Пример 1. Исследовать функцию =x3-3x-4 на монотонность.

Решение:

+ - +

Х

-1 1

при

при

Ответ: даннаяфункция возрастает при и убывает

4. Минимум и максимум (экстремумы) функции.

О1.

Функция имеет в точке минимум ( ), если существует та-кая -окрестность точки , что значение функции в любой другой точке из -окрестность точки превышает значение функции в самой точке , т.е. выполняется неравенство .

Обозначение .

О2. Функция имеет в точке максимум ( ), если существует такая -окрестность точки , что значение функции в любой другой точке из -окрестность точки меньше значения функции в самой точке , т.е. выполняется неравенство .

Обозначение .

Пример 2. Найти на заданном графике точки максимума и минимума (Рис. 80).

 

Рис. 80. Максимумы и минимумы задан-

ной функции.

 

 

О3. Точки минимума и максимума объединяются под общим названием точки экстремума.

5. Необходимое условие существования экстремума функции.

Т4. Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то ее первая производная в этой точке равна нулю, т.е. .

PS.5. Обращение в нуль первой производной функции в точке является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума в этой точке. Непрерывная функция может иметь экстремум в точке даже в том случае, когда ее первая производная в этой точке не существует.

В этом случае говорят об “острых” экстремумах.

Пример3. Доказать, что функция имеет “острый” экстремум в точке .

О4. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими (стационарными или подозрительными на экстремум).

PS.6. Всякая точка экстремума является критической точкой, однако не любая критическая точка будет экстремумом.

 

Исследование функций с помощью производных: Достаточные признаки существования экстремумов. Выпуклость и вогнутость графика функции. Асимптоты

1. Первый и второй достаточные признаки существования экстремума.

Первый достаточный признак существования экстремума дается теоремой:

Т1. Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме может быть самой точки , и при переходе через эту точку слева направо ее первая производная меняет свой знак с “+” на “–”, то в точке функция имеет максимум, а если ее первая производная меняет свой знак с “–” на “+”, то в точке функция имеет минимум. Если при переходе через точку первая производная не меняет свой знак, то в этой точке экстремума нет.

Второй достаточный признак существования экстремума дается теоремой:

Т2. Если в точке первая производная функци обращается в ноль ( ), а вторая производная существует, непрерывна в некоторой окрестности этой точки и отлична от нуля в самой точке ( ), то в точке наблюдается экстремум. Если при этом , то точка является точкой минимума, а при – точкой максимума.

Пример 4. Найти и определить тип экстремумов функции .

Вычислим первую производную функции и приравняем ее к нулю с целью отыскания критических точек: . Так как показательная функция , то . Отсюда находим критические точки и . Отложим эти точки на числовой оси и на каждом интервале определим знак первой производной функции, т.е. применим первый достаточный признак существования экстремума:

 

  
 


– 0 + 2 –

 

При переходе слева направо через точку первая производная функция меняет свой знак с “–” на “+”, следовательно, в этой точке наблюдается минимум. При переходе слева направо через точку первая производная функция меняет свой знак с “+” на “–”, следовательно, в этой точке наблюдается максимум. Применим второй достаточный признак существования экстремума, для чего вычислим вторую производную функции: . Вычислим значение второй производной функции в точке : , следовательно, в этой точке функция имеет минимум. Вычислим значение второй производной функции в точке : , следовательно, в этой точке функция имеет максимум.

2. Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

1. Находят область определения функции и убеждаются в том, что заданный сегмент входит в эту область.

2. Находят критические точки, для чего решают уравнение , и точки, в которых первая производная функции не существует.

3. Вычисляют значения функции в критических точках, принадлежащих заданному сегменту, в точках, в которых первая производная функции не существует и на концах заданного сегмента.

4. Из полученных чисел выбирают наименьшее и наибольшее .

Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте .

Действуя согласно вышеприведенной схеме, находим:

1. . Следовательно, функция определена и непрерывна на заданном сегменте.

2. Вычислим первую производную . Производная существует на всей числовой оси, поэтому найдем критические точки . Отсюда находим, что и .

3. Вычислим значение функции в критических точках и на концах заданного сегмента: .

4. Из полученных чисел выбираем наименьшее и наибольшее , которые определяют наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте .

Предыдущая статья:Звезда — это огромных размеров газовый шар, излучающий свет и тепло Следующая статья:Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
page speed (0.0167 sec, direct)