Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

Функция нескольких переменных  Просмотрен 34

Контрольная работа

Вариант 1

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) б)

  1. Вычислить приближенно .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y2-e-x).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ex-2y, где , y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x3+y3+z3-3xyz = 4, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2+z2+6z-4x+8 = 0, M0(2,1,-1);

б) S: 4x2-9y2-9z2-36 = 0, M0(3,0,0).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = ln(x+y) в т. M0(1,3) в направлении линии y2 = 9x в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию .
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+y-xy в области

D: y = x,y = 4, x = 0.


Вариант 2

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin(x-y), б) z = ln(2-x-y) + .

  1. Вычислить приближенно .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arctg (x2+y2)
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(ex+e-y), где x = t2, y = t3 при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2-xy = 2, в данной точке M0 (-1,0,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+z2-4y2 = -2xy, M0(-2,1,2);

б) S: x2+y2-z = 6, M0(1,-1,-1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = 5x2-3x-y-1 в т. M0(2,1) в направлении, идущем от т. М0 к т. N(5,5).
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x3+8y3-6xy+5.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-x-2y в области

D: y = x,y = 0 , x = 3.


Вариант 3

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) z = ln(1-x2-y2)+ .

  1. Вычислить приближенно (1,03)3,98 .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = yx, где x = ln(t-1), при t = 2, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: , в данной точке M0 (2,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x2+(y+1)2) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2+z2+3z-xy = 7, M0(1,2,1);

б) S: 4x2-9y2 = 36, M0(-3,0,0).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = x2+y2 в т. M0(6,-8) в направлении линии y = x2 в сторону убывания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 1+15x-2x2-xy-2y2.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+8y+2xy-4x в области

D: y = 0,y = 2, x = 0,x = 1.


Вариант 4

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(4-x2-y2); б) z = y + arcsin(x+2).

  1. Вычислить приближенно cos59°sin32°.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arccos(x-y2).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ey-2x+2, где , y = cost при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: ez+x+2y+z = 4, в данной точке M0 (1,1,0) с точностью до двух знаков после запятой
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xy указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2+z2+6z+4x = 8, M0(-1,1,2);

б) S: x2-y+z2-6 = 0, M0(1,-1,2).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin( ) в т. M0(5,5) в направлении линии y2 = 5x в сторону убывания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 1+6x-x2-xy-y2.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 5x2+y2-3xy в области

D: y = 0,y = 1, x = 0,x = 1.


Вариант 5

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = + ln(4-x2-y2).

  1. Вычислить приближенно arсtg .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos(x3-2xy)
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = x2ey, где x = cost, y = sint, при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2-z-4 = 0, в данной точке M0 (1,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xy/(x+y) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S:2x2-y2+z2-4x+y = 13, M0(2,1,-1);

б) S: 25y2-4x2-4z2-5 = 0, M0(1,1,2).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(1,4) в направлении линии xy = 4 в сторону убывания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функциюz = x3+y2-6xy-39x+18y+20.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+2xy-y2-4x в области

D: x-y+1 = 0,y = 0, x = 3.


Вариант 6

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ; б) z = (4-x2-y2)+ .

  1. Вычислить приближенно (2,05)2/((2,05)2+(3,01)2).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(ex+ey) где x = t2, y = t3 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: z3+3xyz+3y = z, в данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = exy указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0).
    Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2+z2-6y+4z+4 = 0, M0(2,1,-1);

б) S: x2+z2-5y2 = 0, M0(-1,1,3).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = x2+y2+xy в т. M0(3,1) в направлении линии 4x-3y-9 = 0 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 2x3+2y3-6xy+5.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+y2-2x-2y+8 в области

D: y+x-1 = 0,y = 0, x = 0.


Вариант 7

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = arccos(x + y); б) z = .

  1. Вычислить приближенно 0,97 1,05.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(2x3y).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = xy, где x = et ,y = lnt при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: cos2 x + cos2y + cos2z = 1,5 в данной точке M0 ( ) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = sin2(x-ay) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+z2-5yz+3y = 46, M0(1,2,-3);

б) S: 3x2+y2 = 9, M0( ,2 2,1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(2,2) в направлении линии xy = 4 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 3x3+3y3-9xy+10.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x3-xy2+y2 в области

D: y = 0,y = 6, x = 0,x = 1.


Вариант 8

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б)z = arcsin(3-x2-y2) .

  1. Вычислить приближенно .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(3x2y-y2).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ey-2x, где x = sint, y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y),заданной неявно: e z-1 = cosxcosy + 1, в данной точке M0 (0,π/2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-xz-yz = 0, M0(0,2,2);

б) S: x2+y2-4z2 = 4, M0(-2,2,1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin( ) в т. M0(5,5) в направлении линии y2 = 5x в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x2+xy+y2+x-y+1.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+6y-xy-x2-y2 в области D: y = 0,y = 1, x = 0,x = 1.

Вариант 9

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(x2+y2-3); б) .

  1. Вычислить приближенно ln((2,02)2+ ).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = e-(x3+y3)y.
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = x2e-y, где x = sint, y = sin2t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2-6x = 0, в данной точке M0 (1,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-z2+2yz+y-2z = 2, M0(1,1,1);

б) S: x2-y2 = 16, M0(5,3,-1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = ln(x2+y2) в т. M0(1,1) в направлении линии x2+ y2 = 2 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 4(x-y)-x2-y2.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2-2y2+4xy-6x-1 в области D: x+y = 3,y = 0, x = 0.

Вариант 10

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б)z = arcsin + arcsin(1-y).

  1. Вычислить приближенно .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln( -1).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e-x+ey), где x = t2, y = t3 при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: xy = z2-1, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e - cos(x+ay) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2 _ z2-2xy+2x = z, M0(1,1,1);

б) S: 3x2-11y2+3z2+5 = 0, M0(1,1,1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = x2+y2 в т. M0(6,8) в направлении линии x2+y2 = 100 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 6(x-y)-3x2-3y2.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+2xy-10 в области

D: y = 0,y = x2-4.


Вариант 11

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(y2-x2); б) z = .

  1. Вычислить приближенно (3,02)3 .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = tg(y4x3).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ey-2x-1, где x = cost, y = sint при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2-2y2+3z2-yz+y = 2, в данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = exy указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S:z = x2+y2+2x-2xy-y, M0(-1,-1,-1);

б) S: x2+y2+2z2 = 10, M0(1,1,2).

  1. Определить градиент и производную заданной функции в т. M0( ) в направлении линии x2+y2 = 2x в сторону убывания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x2+xy+y2-6x-9y.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-2x-y в области

D: y = 0,y = 4, x = 0,x = 3.


Вариант 12

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(9-x2-y2); б) z = arcsin(x+y).

  1. Вычислить приближенно ln( ).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2xy + .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cost при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2+2xz = 5, в данной точке M0 (0,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция arctg указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = y2-x2+2xy-3y, M0(1,-1,1);

б) S: x2+y2-4z2 = 1, M0(1,2,-1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg(xy) в т. M0(1,-1) в направлении линии y = -x в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = (x-2)2+2y2-10.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 0,5x2-xy в области

D: y = 8, y = 2x2.


Вариант 13

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = ln(4+4x-y2).

  1. Вычислить приближенно ( sin1,56)(cos1,58).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2- ln .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = arccos(2x / y), где x = sint, y = cost при t =π, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: xcosy + ycosz + zcosx = , в данной точке M0 (0, , π) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x2+y2+2x+1) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0, y0, z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x2-y2-2xy-x-2y, M0(-1,1,1);

б) S: x2-5y+z2 = 0, M0(1,2,-3).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg в т.
    M0(1,1) в направлении линии x2+ y2 = 2x в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = (x-5)2+y2+1
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x2+3y2-2x-2y+2 в области D: y + x-1 = 0, y = 0, x = 0.

Вариант 14

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = arcsin3xy.

  1. Вычислить приближенно 3,1+4,2- .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos (x- ).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = 1-2t,

y = arctg t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

  1. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: 3x2 y2+2xyz2-2x3z+4y3z = 4, в данной точке M0 (2,1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
  2. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
  3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2-2y2+z2+xz-4y = 13, M0(3,1,2);

б) S: x2-7y+z2 = 4, M0(3,2,3).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(1,1) в направлении линии xy = 1 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x3+y3-3xy.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x2 + 3y2-1 в области

D: y = , y = 0.


Вариант 15

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arccos(x+2y); б) .

  1. Вычислить приближенно 3,034+1,985+15.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = et, y = 2-e2t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2-2y2+z2-4x+2z+2 = 0, в данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e –(x+3y) sin(x+3y) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 4y2-z2+3z+4xy-xz = 9, M0(1,-2,1);

б) S: x2-4y2+z2-4 = 0, M0(-2,1,2).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = 5x2-3x-y-1 в т. M0(1,-1) в направлении, идущем от т. N(2,2)к т.M0.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-2x2-4y2.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2-2xy-y2 + 4x + 1 в области D: y = 0, x+y+1 = 0, x = -3.

Вариант 16

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin ; б) z = ln(y2-x2),

  1. Вычислить приближенно 2,01∙ 1,03/ ((2,01)4+(2,97)2),
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcos(x-2y2),
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e-x +e-2y) где x = t2, при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой,
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x+y+z+2 = xyz, в данной точке M0 (2,-1,-1) с точностью до двух знаков после запятой,
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x2+y2-3xy-x+y+2, M0(2,1,0);

б) S: x2+y2-z-6 = 0, M0(2,1,-1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции в т. M0( ) в направлении линии x2+ y2+2x = 0 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x –x2-y+6x+3.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x2+3y2-x-y+1 в области

D: x = 5, y = 0, x-y-1 = 0.


Вариант 17

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(x2-y2); б) z = arcsin .

  1. Вычислить приближенно (2- )3,02.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 5xy2+lnxy2.
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = lnt, y = t2 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2-2xz = 2, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = arctg указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 2x2-y2+2z2+xz+xy = 3, M0(1,2,1,);

б) S: x2+y2-4z2 = 4, M0(2,-1,1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg(xy) в т. M0(-1,4) в направлении линии y = -x+3 в сторону убывания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-5x2-3y2+2.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x2 +2xy-0,5y2-4x в области D: y = 2x, y = 2, x = 0.

Вариант 18

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(x2-y2); б) z =

  1. Вычислить приближенно tg46° sin29°.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cost при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: ez-xyz-x+1 = 0, в данной точке M0 (2,1,0) с точностью до двух знаков после запятой
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x+e y) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2-y2+z2-4x+2y = 14, M0(3,1,-4);

б) S: x2+y2 = 5z, M0(1,3,2).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = x2+y2 в т. M0(-6,8) в направлении линии y = (2/9)x2 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = xy(12-x-y).
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+2,5y2-2xy-2x в области D: y = 0, y = 2, x = 0,x = 2.

Вариант 19

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = -8; б) .

  1. Вычислить приближенно (2,03)2/ .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = y2-4xy+sin(2xy2).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где , при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x3+2y3+z3—3xyz-2y-15 = 0, в данной точке M0 (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x2-y2) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-z2+xz+4y = 4, M0(1,1,2);

б) S: x2+5y2+z2 = 10, M0(1,-1,2).

  1. Найти направление наибольшего возрастания функции u = x2y2z в любой точке и в т.
    М0(2,-1,3) и скорость возрастания в этом направлении.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = xy-x2-y2+9.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-3x-2y в области

D: y = 0, y = 4, x = 0,x = 4.


Вариант 20

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) .

  1. Вычислить приближенно 2,03/((2,03)4+(2,97)2).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y-x2-3).
  3. Вычислить значение производной сложной функции , где x = sin t,y = cost при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2-3y2+z2-2xy+6x-2y-8z+20 = 0, в данной точке M0 (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция ecos(x+3y) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2-y2-z2+xz-4x = -5, M0(-2,1,0);

б) S: x2-y2+z2 = 30, M0(3,2,5).

  1. В направлении какой линии : y2 = 4x или x2+y2 = 5 в т.М0(1,2) функция z = x3+y3 изменяется быстрее в сторону убывания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-3x2-2y2+10.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + xy-2 в области

D: y = 4x2-4, y = 0.


Вариант 21

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(3x-y); б) z = .

  1. Вычислить приближенно 3,09e 0,09.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(2x-y3)+x.
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = lnt, y = t2 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2 = y-z+3, в данной точке M0 (1,2,0) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ex(xcosy-ysiny) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-xz+yz-3x = 11, M0(1,4,-1);

б) S: x2+y2-4x+2y+4 = 0, M0(2,-2,0).

  1. По какому направлению должна двигаться т. М(x,y,z) при переходе через т. M0(-1,1,-1) ,чтобы функция возрастала с наибольшей скоростью?
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + 8y3-6xy +1.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 y (4-x-y) в области

D: y = 6-x, y = 0, x = 0.


Вариант 22

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = y- ; б) z = .

  1. Вычислить приближенно 4/((1,03)2+(2,97)2).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sint, y = cost при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2+2xy-4x-yz-3y-z = 0, в данной точке M0 (1,-1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .

  1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+2y2+z2-4xz = 8, M0(0,2,0);

б) S: 2x2-y+2z2 = 0, M0(1,10,2).

  1. В направлении какой линии: xy = 4 или x = y в т. М0(2,2) функция z = x3+y3-3xy изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
  2. Исследовать на экстремум функцию z = y -y2-x+6y
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3-y3-3xy в области

D: x = 0, x = 2, y = -1, y = 2.


Вариант 23

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = –x; б) z = arcsin(1-x2-y2) + arcsin2xy.

  1. Вычислить приближенно arсtg(0,96/1,05).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(xy)-3xy2.
  3. Вычислить значение производной сложной функции , где x = sin2t, y = tg2 t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2-y2-z2+2x-4y+6z+12 = 0, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = 3+ln(x2+(y+1)2) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2-y2-2z2-2y = 0, M0(-1,-1,1);

б) S: x2+y2+2z2 = 10, M0(-1,1,2).

  1. В направлении какой линии y2 = 4x или x2+y2 = 5 в т. М0(1,2) функция z = x3+y3 изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x2-xy+y2+9x-6y+20.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 4(x-y)-x2-y2 в области

D: 2y + x = 4, x-2y = 4.


Вариант 24

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(25-x2-y2); б) z = arctg( ).

  1. Вычислить приближенно (0,99)5,05.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = lnt, y = t2 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: +z3-3z = 3, в данной точке M0 (4,3,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-3z2+xy = -2z, M0(1,0,1);

б) S: y2-4y+z = 0, M0(1,-2,-12).

  1. В направлении какой линии: x2 + y2 = 8 или y = -x в т. M0(-2, 2) функция z = изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = xy(6-x-y).
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2-y2+2xy-4x в области

D: y = x+1, y = 0, x = 3.


Вариант 25

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) z = .

  1. Вычислить приближенно ( e 1,15)1,1.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = arctg(x+y), где x = t2+2, y = 4-t2 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2+2y2+3z2 = 59, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e cos(4y+x) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 2x2-y2+z2-6x+2y+6 = 0, M0(1,-1,1);

б) S: z = y2-y-2, M0(0, , ).

  1. С какой наибольшей скоростью может убывать функция u = ln(x2+y2+z2) при переходе т. М(x,y,z) через т. M0(1,1,1).
  2. Исследовать на экстремум функцию .
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D: y = 0,y = 2, x = 0,x = 1.
Предыдущая статья:Дожи надгробие Следующая статья:Провозглашение советской власти: История (Задание студентам на время дистанционного обучения)
page speed (0.0163 sec, direct)