Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Метод простой итерации для решения систем линейных уравнений  Просмотрен 68

Приведем систему (1) к равносильной ей системе вида:

(7)

или в сокращенной записи , (8)

О системе (7) говорят, что она «приведена к нормальному виду».

Правая часть системы (7) определяет отображение

F: , , (9)

преобразующее точку (x1, x2, … , xn) п-мерного векторного пространства в точку 1, у2, … ,уn) того же пространства. Используя отображение (9) и выбрав начальную точку , можно построить итерационную последовательность точек п-мерного пространства (аналогично методу простой итерации для уравнения x = f(x)):

(10)

Если отображение F является сжимающим, то эта последовательность сходится и ее предел является решением системы (7), и тем самым исходной системы.

 

Рассмотрим условия, при которых отображение (9) является сжимающим. Решение этого вопроса зависит от способа метризации пространства.

Пусть (x1, x2, … , xn) и 1, у2, … ,уn) – две точки п-мерного пространства. Для применения метода итераций систему линейных уравнений удобно «погрузить» в пространство с одной из следующих метрик:

1) ρ1( , ) =

2) ρ2( , ) =

3) ρ3( , ) =

Отображение (9) будет сжимающим, если выполняется хотя бы одно из условий:

а) в пространстве с метрикой ρ1: (11)

б)в пространстве с метрикой ρ2: (12)

в) в пространстве с метрикой ρ3: (13)

Предыдущая статья:Функции из отдельных кусков Следующая статья:Схема решения системы линейных уравнений методом простой итерации
page speed (0.0131 sec, direct)