Задачи математической статистики, Выборочное наблюдение   87

Лекция 5. Задачи математической статистики. Генеральные и выборочные совокупности. Способы отбора. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

 

Выборочное наблюдение.

Математическая статистика - это раздел математики, в котором изучаются математические методы систематизации, обработки, анализа и представления статистических данных для научных и практических выводов.

Математическая статистика использует математический аппарат и выводы теории вероятностей. Связующим звеном между теорией вероятностей и математической статистикой является закон больших чисел и так называемые предельные теоремы. В частности, закон больших чисел аргументирует применение средней арифметической в качестве оценки математического ожидания и относительной частоты появления события как оценки вероятности. Последнее обосновывает понятие статистической устойчивости.

В основе математической статистики лежат понятия генеральной совокупности и выборочной совокупности (выборки).

Под генеральной совокупностью мы понимаем все возможные наблюдения показателя, который нас интересует, все элементарные последствия случайного испытания или всю совокупность реализаций случайной величины. Пример генеральной совокупности - данные о результатах голосования населения по определенному вопросу, данные о доходах всех жителей некоторой страны и т.д. Однако в большинстве случаев мы имеем дело только с частью возможных наблюдений, взятые из генеральной совокупности, и называем это множество значений выборкой. Таким образом, выборка - это часть генеральной совокупности элементов, которая охватывается экспериментом (наблюдением).

Когда реализуется выборка, количественный признак, например , приобретает конкретные значения , которые называют вариантами. Каждая варианта выборки может быть раз ( ). Число называют частотой варианты .

При этом , где – количество вариант, которые равны числовым значениям, – объем выборки. Отношение частоты варианты к объему выборки называют ее относительной частотой и обозначают :

. (1)

Для каждой выборки справедливо равенство .

Возрастающий ряд вариант называют вариационным рядом: .

Дискретное статистическое распределение выборки.

Перечень вариант вариационного ряда и соответствующих им частот или относительных частот, называют дискретным статистическим распределением выборки.

В табличной форме оно имеет вид

 

Дискретное статистическое распределение выборки можно представить эмпирической функцией .

Функция действительного аргумента , которая определяет относительную частоту события :

, (2)

называется эмпирической функцией распределения, или кумулятою.

Здесь – объем выборки, – количество вариант статистического распределения выборки, значения которых меньше .

 

имеет такие свойства:

1) ;

2) , где является наименьшей вариантой вариационного ряда;

3) , где является наибольшей вариантой вариационного ряда;

4) является неубывающей функцией аргумента .

 

Пример.По данному дискретному статистическому распределению выборки

 

	-6	-4	-2
	0,05	0,1	0,15	0,2	0,4	0,1

 

Построить и изобразить ее графически.

Решение. Согласно определению (2) и свойствам, имеет такой вид:

 

Графическое изображение F*(x):