Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

Закон распределения дискретной случайной величины.  Просмотрен 11

Для задания дискретной случайной величины нужно перечислить все возможные ее значения , , .., и указать их вероятности:

, , .., .

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможные значение, заключаем, что события , , .., образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице:

.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения может быть задан таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит ее возможные значения, а вторая – соответствующие им вероятности.

Причем, располагать возможные значения случайной величины принято в порядке возрастания. Такая таблица носит название ряда распределения случайной величины.

Для наглядности ряд распределения представляют графически. При графическом представлении все возможные значения случайной величины откладываются по оси абсцисс, а по оси ординат – соответствующие вероятности. Вершины полученных ординат соединяют отрезками прямых.

  
 

 

 


Такая фигура называется многоугольником распределения. Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины .

Пример 1. Случайная величина принимает значение 10 с вероятностью 0,3; значение 2 с вероятностью 0,4; значение 8 с вероятностью 0,1; значение 4 с вероятностью 0,2. Записать закон распределения случайной величины и построить многоугольник распределения.

Решение. Составим таблицу, в первой строке которой запишем возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке – соответствующие им вероятности.

    
0,4 0,2 0,1 0,3

Это и будет закон распределения дискретной случайной величины. Построим многоугольник распределения.

  
 

 


Для этого по оси абсцисс отложим возможные значения случайной величины; по оси ординат соответствующие им вероятности. Затем полученные точки соединим отрезками прямых.

Пример 2. В урне имеется 4 шара с номерами 1, 2, 3, 4. Вынули 2 шара. Найти закон распределения случайной величины - суммы номеров вынутых шаров.

Решение. Запишем возможные значения:

, , , , .

Сумма номеров шаров будет равна 3, если будут вынуты шары с номерами 1 и 2 (2 и 1). Найдем вероятность этого события:

.

Аналогично, сумма номеров вынутых шаров будет равна 4, если будут вынуты шары 1 и 3 (3 и 1).

.

Сумма номеров равна 5 в следующих четырех случаях: 1 и 4, 4 и 1, 2 и 3, 3 и 2.

.

Осталось найти и .

(2 и 4, 4 и 2); (3 и 4, 4 и 3).

Запишем закон распределения дискретной случайной величины :

     

Сделаем проверку. Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины должна быть равна единице:

.

Пример 3. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,7. Стрелку выдают патроны до тех пор, пока он не промахнется. Составить закон распределения дискретной случайной величины (5.3) - числа патронов, выданных стрелку.

Решение. Число возможных значений данной случайной величины может быть как угодно большим, говорят, счетное множество:

, , , …, , ….

Найдем соответствующие вероятности.

Если стрелок израсходовал только один патрон, значит, он при первом же выстреле промахнулся. Вероятность промаха

.

Если же стрелок израсходовал 2 патрона, это значит, он первый раз попал, а второй раз промахнулся.

.

Три патрона стрелок израсходовал в том случае, если он 2 раза попал, а третий раз промахнулся.

.

Рассуждая дальше таким же образом, получим:

.

Запишем закон распределения дискретной случайной величины :

0,3

Сделаем проверку. Найдем сумму вероятностей всех возможных значений:

Получим сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член , а знаменатель . Воспользуемся формулой . У нас , значит, закон распределения случайной величины составлен верно.

 

Предыдущая статья:Дискретные случайные величины. Следующая статья:Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
page speed (0.016 sec, direct)