Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Механика

СТАТИКА И КИНЕМАТИКА 1 страница  Просмотрен 32

Учебное пособие

Статика.

ЛЕКЦИЯ 1

Теоретическая механика – это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Механическим движением называется перемещение одного тела по отношению к другому, происходящее в пространстве и во времени.

Механическим взаимодействием называется такое взаимодействие материальных тел, которое изменяет или стремится изменить характер их механического движения.

Статика – это раздел механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Основные понятия и определения,

Материальное тело, размеры которого в рассматриваемых конкретных условиях можно не учитывать, называется материальной точкой.

Материальная точка обладает массой и способностью взаимодействовать с другими телами.

Системой материальных точек называется такая совокупность материальных точек, в которой положение и движение каждой точки зависят от положения и движения других точек этой системы.

В теоретической механике часто рассматривают тела, расстояние между любыми точками которых, остаются неизменными. Такие тела называются абсолютно твердыми. Понятие об абсолютно твердом теле – есть абстрактная модель. Принимая эту модель в качестве объекта исследования, пренебрегают возможными изменениями формы и размеров тела под действием нагрузок: считая, что

1) деформации малы – ими можно пренебречь;

2) условия равновесия сил, приложенных к абсолютно твердому телу являются необходимыми условиями равновесия любого деформируемого тела.

Важнейшим понятием в теоретической механике является понятие силы.

Сила – это мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия.

Сила определяется тремя элементами: числовым значением, направлением и точкой приложения. Сила изображается вектором ( ) За единицу силы принимается Ньютон ( ). Прямая, по которой направлена сила называется линией действия силы.

Совокупность нескольких сил, действующих на данное тело называется системой сил

( )

Если не нарушая состояния тела, одну систему сил ( ) можно заменить другой системой ( ) и наоборот, то такие системы сил называются эквивалентными

( ) ~ ( )

В том случае, когда система сил ( ) эквивалентна одной силе , то есть ( ) ~ , то последняя называется равнодействующей этой системы сил.

Если абсолютно твердое тело остается в состоянии покоя при действии на него системы сил ( ), то последняя называется уравновешенной системой сил или системой сил эквивалентной нулю

( ) ~0

Часто в этом случае говорят, что тело находится в равновесии.

Силы, действующие на материальную систему делятся на 2 группы: внешние и внутренние.

Внешними называются силы, действующие на материальные точки данной системы со стороны материальных точек, не при­надлежащих этой системе. (обозначаем - ).

Внутренними называются силы взаимодействия между материальными точками рассматриваемой системы. (обозначаем - ),

Аксиомы статики.

Аксиома 1.

Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Аксиома 2.

Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему. Следствие. Не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно перекосить вдоль ее линии действия (сила - вектор скользящий).

Доказательство

Пусть сила приложена в точке А. Приложим в точке В, на линии действия силы две уравновешенные силы ~ 0, полагая, что .

Согласно аксиоме 2

~ ,

но система ~ 0 и следовательно, её можно отбросить, т.е. ~ , что и требовалось доказать. В результате на тело будет действовать только одна сила , но приложенная в точке В.

Аксиома 3.

He меняя состояния тела, две силы, приложенные к одной его точке можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной в той же точке и равной их геометрической сумме

1)

2)

3)

Аксиома 4.

Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 5.

Равновесие деформируемого тела на нарушится, если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым.

Связи, Реакции связей.

Тело называется свободным, если его перемещения в пространстве ничем не ограничены.

Тело, перемещения которого ограничены другими телами, называется несвободным, а тела, ограничивающие перемещения данного тела, называются связями. В точках контакта возникают силы взаимодействия между данным телом и связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей.

Одним из основных положений механики является принцип освобождаемости твердых тел от связей, согласно которым всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить реакциями их, приложенными к данному телу.

Реакция любой связи направлена противоположно тому направлению, в котором связь ограничивает перемещение тела.

Основные виды связей.

1) Идеально гладкая поверхность.

2) Гибкая связь (трос, нить, цепь, канат).

Реакция гибкой связи направлена по нити к точке подвеса.

3)

Твёрдое тело имеет гладкую поверхность и опирается на остриё или упирается остриём.

4) Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора (подшипник).

Реакция такой опоры имеет произвольное направление в плоскости, раскладываем её на две составляющие .

5) Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора.

6) Невесомый стержень, на концах которого шарниры.

7) Сферический шарнир.

Шар, который может вращаться как угодно внутри сферической полости. Центр шара остается неподвижной точкой, через которую проходит линия действия реакции. Реакция имеет произвольное направление в пространстве, раскладываем ее на 3 взаимно-перпендикулярных составляющих .

8) Подпятник.

Реакция имеет произвольное направление в пространстве, раскладываем ее на три взаимно-перпендикулярных составляющих

Система сходящихся сил.

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Система сходящихся сил эквивалентна одной силе, равнодействующей, которая равна геометрической сумме этих сил и проходит через точку пересечения их линией действия.

Доказательство:

Пусть задана система сходящихся сил , приложенных к абсолютно твердому телу. Согласно следствию из аксиомы 2 перенесем точки приложения сил по линиям их действия в точку пересечения этих линий. Получаем систему сил, приложенных в одной точке. Она эквивалентна исходной системе сходящихся сил.

(1)

Геометрический способ построения равнодействующей.

Строим силовой многоугольник: от конца отложим от его конца и так далее. Затем соединим начало первого вектора с концом последнего. Полученный вектор и есть .

Обе части (1) спроектируем на оси .

(2)

Модуль равнодействующей (3)

Направление равнодействующей определяется направляющими косинусами.

– единичные орты осей соответственно.

Условия равновесия системы сходящихся сил

При приведении системы сходящихся сил к центру было показано, что такая система эквивалентна одной равнодействующей .

Из определения уравновешенной системы сил следует, что для равновесия тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы .

Это означает, что в силовом многоугольнике уравновешенной системы сходящихся сил конец последней силы должен совпадать с началом первой, то есть многоугольник замкнут. Равенство (*) на основании (3) с учетом (2) выполняется при условии, что

или (4)

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические проекции всех сил данной системы на координатные оси равнялись нулю.

Для плоской системы сходящихся сил система (4) принимает вид:

(5)

ЛЕКЦИЯ 2

Теорема о 3-х непараллельных силах

Если тело находится в равновесии вод действием 3-х непараллельных сил и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть на тело действует система трех сил , причем линии действия сил пересекаются в точке А.

Согласно аксиоме 3 их можно заменить одной силой .

Таким образом, рассматриваемая система сил приведена к двум силам и . По условиям теоремы тело находится в равновесии, следовательно, по аксиоме 1 силы и должны иметь общую линию действия, но тогда линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке.

Момент силы относительно центра (или точки).

Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом.

Моментом силы относительно центра называется вектор равный векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы.

(6)

Вектор-момент силы относительно точки 0 приложен в ( )0. Его модуль равен: . В общем случае, момент силы относительно центра алгебраически равен взятому со знаком "+" или "–" произведению модуля силы на плечо силы.

(7)

Плечом силы называется перпендикуляр, проведенный из ( )0 на линию действия силы.

Знак "+" выбираем в том случае, если кратчайший поворот силы вокруг данного центра виден происходящим против стрелки часов, знак "–" – в противном случае.

В общем случае направление вектора момента силы относительно центра определяется знаком векторного произведения (6).

Согласно (7) можно утверждать, что .

Свойства момента силы относительно точки

1. Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.

2. Момент силы равен нулю, тогда и только тогда, когда линия действия силы проходит через центр 0.

Согласно (7):

(*)

Здесь – координаты точки приложения силы; – проекции силы. Из (*) следует, что проекции момента силы на координатные оси определяются по формулам

Размерность – ньютон метр.

Параллельные силы.

Система двух сил, направленных в одну сторону имеет равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен сумме модулей слагаемых сил; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям этим сил.

Две, не равные по модулю, , противоположно направленные силы, имеют равнодействующую, параллельную этим силам; причем ее модуль равен разности модулей слагаемых сил; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям этим сил

Пара сил. Основные понятия и определения.

Парой сил называют систему двух равных по величине, парал­лельных сил, направленных в противоположные стороны.

Расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары. Плоскость, в которой действуют силы пары, называется плоскостью действия пары. Совокупность нескольких пар, действующих на тело, называется системой пар.

Пара сил, действующая на тело, стремится сообщить ему некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуется величиной, называемой моментом пары.

Моментом пары сил называется вектор, величина которого равна произведению силы пары на плечо пары и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары так, чтобы с направления этого вектора видеть стремление пары сил вращать тело против движения часовой стрелки.

(*)

Величина векторного момента пары сил численно выражается величиной площади ð , построенного на силах пары.

Вектор-момент можно представить в виде:

(8)

Из (8) следует (*) и наоборот.

Теоремы теории пар сил.

Теорема 1.

Геометрическая сумма моментов сил, входящих в состав пары относительно любой точки, не зависит от выбора точки, и равна векторному моменту этой пары сил.

Доказательство:

Возьмем произвольный центр 0 и проведем из него радиусы-векторы точек А и В. Учитывая, что , можно записать

Так как не зависит от выбора точки 0, следовательно, геометрическая сумма также не зависит от выбора точки 0.

Теорема 2.

Вектор-момент пары – вектор свободный.

Доказательство:

Согласно теореме о моментах сил пары имеем: .Таким образом, вектор момент пары как геометрическая сумма двух связанных векторов и можно считать также связанным, приложенным в точке 0. Но центр 0 был выбран произвольно, поэтому и точка приложения вектора также является произвольной.

Следовательно, вектор-момент пары – вектор свободный.

На основании этой теоремы и известных из векторной алгебры признаков свободных векторов, можно записать следующие свойства пар сил:

1. у пары сил можно произвольным образом менять модули сил и плечо, оставляя неизменным ее момент;

2. пару сил можно перемещать как угодно в ее плоскости;

3. пару сил можно переносить в любую плоскость параллельную плоскости этой пары.

Из доказанной теоремы вытекают также известные условия эквивалентности пар:

1. пары сил в пространстве эквивалентны, если их векторы-моменты геометрически равны между собой;

2. пары сил на плоскости эквивалентны, если их моменты численно равны и одинаковы по знаку.

Теорема 3.

Две пары сил, действующие на одно и тоже тело и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен геометрической сумме моментов данных пар сил*

Доказательство:

Пусть имеются две пары сил и , лежащие в пересекающихся плоскостях. Эти нары сил можно получить из пар сил, как угодно расположенных в пересекающихся плоскостях путем параллельного переноса, поворота в плоскости действия и одновременного изменения плеч и сил пар. Согласно аксиоме 3 имеем

Силы и составляют пару сил, так как они приложены в разных точках и как равнодействующие равных, но противоположно направленных сил.

Вычислим момент пары

где – момент пары , – момент пары , т.е. .

Момент эквивалентной пары сил равен геометрической сумме

векторных моментов заданных пар.

Из теоремы 3 вытекает правила сложения пар сил:

1. Чтобы сложить две пары сил, лежащие в пересекающихся плоскостях, надо сложить их векторные моменты геометрически

.

2. Чтобы сложить пары сил, действующие на твердое тело и расположенные в одной плоскости, необходимо алгебраически сложить моменты составляющих пар сил .

Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то согласно теореме 3 эти пары сил, можно заменить одной эквивалентной парой, момент которой

(*)

Таким образом, момент эквивалентной пары – есть замыкающая сторона векторного многоугольника, построенного на векторных моментах заданных пар сил.

Для равновесия сил пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы величина момента эквивалентной пары равнялась 0, или чтобы векторный многоугольник был замкнут.

Модуль момента эквивалентной пары

 

где (**)

 

Но ,

если или с учётом (**)

 

(9)

 

Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций векторов моментов пар сил на координатные оси равнялись нулю.

Условия равновесия (9) упрощаются, если все пары лежат в одной плоскости. В этом случае все моменты перпендикулярны этой плоскости, поэтому (*) достаточно спроектировать только на одну ось, например ось , перпендикулярную плоскости пар.

Тогда из (*) получим:

 

 

или

 

(10)

ЛЕКЦИЯ 3

Проекцией силы на плоскость называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость.

По модулю где – угол между направлением силы и ее проекции

Предыдущая статья:Работа профессиональных ассоциаций по созданию и соблюдению кодексов этики бухгалтеров Следующая статья:СТАТИКА И КИНЕМАТИКА 2 страница
page speed (0.0159 sec, direct)