Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

Доказательство (вывод) уравнения эллипса.  Просмотрен 14

Выведем уравнение кривой, удовлетворяющей этому свойству ( = const), и докажем, что в уравнении должна быть сумма квадратов.

Пусть фокусы расположены в точках и . Вычислим по теореме Пифагора расстояние от точки (x,y) до двух фокусов. F1 расположен дальше длина катета равна , тогда длина большего из двух отрезков, а именно , равна: .

Фокус F2 наоборот, расположен ближе к точке на чертеже то есть катет на оси Ox равен , тогда .

Выясним, какой именно константе равна величина . Если расположить точку ровно в правой вершине, то получим , такая же сумма расстояний по определению должна быть и для произвольных точек. Итак, .

Заметим, что если оба корня возвести в квадрат, то они будут отличаться только одним слагаемым, а именно либо . Тогда можно так оценить разность квадратов:

= =

= .

Но ведь , то есть .

Тогда мы знаем и разность: .

Итак, получили систему, из которой можно определить каждое :

Сложив эти 2 равенства, получим ,

а вычитая второе из 1-го, .

Сопоставим выражения, изначально полученные по теореме Пифагора, с этими выражениями:

. Теперь возведём в квадрат:

. Тогда , далее , тогда .

Рассмотрим вершину . Сумма расстояний до фокусов равна , то есть каждый отрезок, показанный зелёной линией на чертеже, имеет длину :

Но ведь он является гипотенузой треугольника, один катет которого это малая полуось (длина ), а другой - (длина равна ). Таким образом, , тогда .

Итак, каноническое уравнение эллипса:

.

Если то кривая - окружность (частный случай эллипса):

, , фактически тогда это радиус, можно обозначить R.

Понятие эксцентриситет эллипса. Величина называется эксцентриситетом эллипса. Геометрический смысл: во сколько раз ближе к центру расположен фокус, чем дальняя вершина эллипса. Если окружность, то эксцентриситет равен 0. Известны эксцентриситеты орбит планет Солнечной системы. Но они - очень малые числа, так как орбиты очень близки к круговым, например 0,017 для Земли.

Предыдущая статья:Кривые и поверхности. Следующая статья:Геометрические и физические свойства эллипса.
page speed (0.0298 sec, direct)