Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Математика

Дифференциалдық теңдеулер теориясының негізгі түсініктері мен анықтамалары.  Просмотрен 37

Билет 1

Дифференциалдық теңдеулер анықтамасын бер.Құрамында тәуелсіз айнымалы х, ізделінді функцисы және оның туындылары болатын теңдеу дифференциалдық теңдеу деп аталады. Дифференциалдық теңдеудің екі түрі болады: жай және дербес туындылы дифференциалдық теңдеу. Егер ізделінді функция тек бір ғана айнымалыға тəуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу жай дифференциалдық теңдеу деп аталады. Егер белгісіз функция екі немесе оданда көп айнымалыға тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Дифференциалдық теңдеулер реті дегеніміз не? Теңдеудің құрамындағы ең жоғарғы туындының реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады. G(x,y,y ′,y′′..., y(п)) = 0 - n-ші ретті дифференциалдық теңдеу десек, y(п) = F(x,y,y′, y′′,y′′′,...)- бас туындыға қатысты шешілген теңдеу болады. Мысалы: у′′+5xу′-x2y3= 0 – екінші ретті, d3y/dx3–xy2 dy/dx =7 - үшінші ретті, y′+5xy = cosx–бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер.

Дифференциалдық теңдеулер классификациясын көрсет. Физикада көбінесе екінші ретті дифференциалдық теңдеулер кездеседі. тәуелсіз айнымалылар үшін және екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі мынадай: . Егер ізделініп отырған функция тек екі айнымалыға тәуелді болса, теңдеу мынадай болады: (1). Егер теңдеуде , онда теңдеу біртекті болады. Егер , онда теңдеу біртекті емес. Жоғары туындылардың алдындағы коэффициентердің мәніне байланысты дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үш типке бөлінеді.

Егер , онда дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер гиперболалық типтегі теңдеу деп; егер , онда – эллипс типтегі теңдеу; егер , онда – параболалық типтегі теңдеу. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің шешімін табу үшін бірінші оны канондық түрге келтіру керек. Ол үшін теңдеудің характеристикалық (сипаттамалық) теңдеуін құрастыру керек , (2). Теңдеу келесі екі теңдеуге жіктеледі (3). (4). Осы теңдеулердің жалпы интегралдарын табамыз. Егер (1) формуламен өрнектелген теңдеу гиперболалық типтегі теңдеу болса, (3) және (4) теңдеулердің шешімдері әртүрлі және нақты болады: . жаңа айнымалылар арқылы (1) гиперболалық типтегі теңдеуді келесі канондық түрге келтіруге болады . Егер (1) теңдеу параболалық типтегі теңдеу болса, (3) және (4) теңдеулер бірдей болады және олардың жалпы интегралы мынаған тең болады: . жаңа айнымалылар арқылы (1) теңдеуді келесіканондық түрге келтіруге болады , мұндағы - қарастырылып отырған аумақта болатындай функция. Егер (1) теңдеу эллипс типтегі теңдеу болса, (3) және (4) теңдеулердің жалпы интегралдары комплексті болады: , жаңа айнымалылар арқылы (1) теңдеу келесі түрге келтіріледі .
Осы теңдеуді эллипс типтегі теңдеудің канондық түрі деп атайды.

Дифференциалдық теңдеулер шешімдерінің түрлерін ата. Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп теңдеуге қойғанда оны тура теңдікке айналдыратын кез келген функциясын айтады. Дифференциалдықтеңдеудіңшешімінанықтаудифференциалдық теңдеуді интегралдауесебідепаталады. Дифференциалдық теңдеудің екі шешімі бар, олар жалпы және дербес шешім. Егер дифференциалдық теңдеудің шешімі, саны теңдеудің ретіне сəйкес келетін тəуелсіз кез келген тұрақтылардан тұрса, онда ол берілген теңдеудің жалпышешімі деп аталады. Жалпы шешімде көп шешім болады. Ал, бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі дегеніміз, кез-келген бір тұрақты С–дан тәуелді және келесі шарттарды қанағаттандыратын функциясын айтады: а) ол С тұрақтының кез келген мәнінде дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады; ә) бастапқы шарт х=х0 болғанда у=у0 қандай болмаса да функциясы берілген бастапқы шартты қанағаттандыратындай С=С0 мәнін табуға болады. Жалпы шешімдегі тұрақты сан бір мән қабылдаған кезде шыққан шешімді дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі деп айтамыз, яғни C=C0 болса, онда y=ϕ(x,C0) дербес шешім болады. Дербес шешімде бір шешім ғана болады. Дифференциалдық теңдеудің шешімін табу үшін қосымша шарттар қолданылады. Бастапқы шарт: бастапқы t моментіндегі туындылардың мәне t=0. Шекаралық шарт: есептің шарты анықталатын аумақтың шекарасындағы белгісіз функцияның немесе туындының мәні.

Предыдущая статья:ПРЕПАРАТЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА СИСТЕМУ ГЕМОСТАЗА Следующая статья:Шексіз ұзын өзектің (стержень) сууы туралы есепті қарастырамыз.
page speed (0.0157 sec, direct)