Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

П.3. От тригонометрической функции.  Просмотрен 10

Задача 72.Вычислить интеграл .

Решение. , , .

Тогда = ,

вынесем за знак интеграла все константы, получим

= =

 

Надо умножить каждую на каждую, лучше всего их все учесть с помощью такой таблицы.

 

 
 

 

=

что далее можно представить в виде суммы 5 интегралов. Для 1-го и 2-го из них функции вообще не имеет особых точек внутри круга радиуса 1, эти слагаемые 0. Исследуем 3 последних.

, каждый считается с помощью вычета внутри круга, причём для всех полюс это точка . Но в одном случае это полюс 1 порядка, а в других 3-го и 5-го. Если полюс кратный, то находится производная от числителя, а он равен константе, значит, производная равна 0. Таким образом, два последних интеграла тоже 0.

= =

= = . Ответ. .

Задача 73.Вычислить интеграл .

Решение.Здесь надо сделать замену , при которой:

, .

= = =

= .

Теперь найдём корни многочлена в знаменателе, тем самым найдём полюсы функции.

. , корни и . Один из них, очевидно, внутри единичного круга, другой снаружи. Поэтому надо будет найти всего один вычет.

С учётом найденных полюсов, интеграл запишется в виде:

= =

= = . Ответ. .

 

Задача 74.Вычислить .

Решение. = =

= =

, далее найдём корни многочлена в знаменателе, это и будут полюсы функции.

= 64, , т.е. и .

Один полюс внутри круга, другой снаружи, таким образом, надо будет считать только один вычет в точке .

= = =

= = . Ответ. .

 

Задача 75.Вычислить интеграл .

Решение. =

Чтобы упростить это выражение, сначала домножим на в числителе и знаменателе, затем на 2, затем домножим , которое есть в знаменателе, на все слагаемые слева от него.

= =

Отдельный множитель в знаменателе наоборот, лучше не объединять со знаменателем большой дроби, ведь он и так соответствует полюсу . Чтобы не приводить к 3-й степени и не усложнять поиск корней многочлена, лучше оставить это отдельно, и найти 2 корня многочлена второй степени.

Итак, получили . Один полюс видно сразу, ищем 2 других. Ищем корни многочлена .

. = = . При этом по модулю больше 1, т.е. этот полюс вне единичного круга, а точка внутри круга.

Итак, 2 из 3 полюсов внутри круга радиуса 1, т.е. интеграл определяется суммой вычетов в них.

Подынтегральную функцию можно представить в виде: впрочем, когда мы будем считать вычет в 0, те две скобки можем для краткости опять объединить.

Итак, мы должны вычислить , причём полюсы 1-го порядка.

=

=

= =

= = = 0.

Для сравнения, покажем решение этой задачи методами прошлого семестра, без вычетов. Можно было применить универсальную тригонометрическую подстановку, но лучше подвести под знак дифференциала.

= = = = = 0. Ответ.0.

Предыдущая статья:Практика 8 (неделя с 19 по 25 октября). Следующая статья:Назначение и условия работы детали
page speed (0.0125 sec, direct)