П.3. От тригонометрической функции.
10
Задача 72.Вычислить интеграл 
.
Решение. 
, 
, 
.
Тогда = 
,
вынесем за знак интеграла все константы, получим
= 
=
Надо умножить каждую на каждую, лучше всего их все учесть с помощью такой таблицы.
| 
| ||
|
| 
| 
| |
|
| 
| ||
|
|
| 
|
= 
что далее можно представить в виде суммы 5 интегралов. Для 1-го и 2-го из них функции вообще не имеет особых точек внутри круга радиуса 1, эти слагаемые 0. Исследуем 3 последних.
, каждый считается с помощью вычета внутри круга, причём для всех полюс это точка 
. Но в одном случае это полюс 1 порядка, а в других 3-го и 5-го. Если полюс кратный, то находится производная от числителя, а он равен константе, значит, производная равна 0. Таким образом, два последних интеграла тоже 0.
= 
=
= 
= 
. Ответ. .
Задача 73.Вычислить интеграл 
.
Решение.Здесь надо сделать замену , при которой:
, .
= 
= 
=
= 
.
Теперь найдём корни многочлена в знаменателе, тем самым найдём полюсы функции.
. 
, корни 
и 
. Один из них, очевидно, внутри единичного круга, другой снаружи. Поэтому надо будет найти всего один вычет.
С учётом найденных полюсов, интеграл запишется в виде:
= 
=
= 
= 
. Ответ. .
Задача 74.Вычислить 
.
Решение. = 
=
= 
=
, далее найдём корни многочлена в знаменателе, это и будут полюсы функции.
= 64, 
, т.е. 
и 
.
Один полюс внутри круга, другой снаружи, таким образом, надо будет считать только один вычет в точке .
= 
= 
=
= 
= 
. Ответ. .
Задача 75.Вычислить интеграл 
.
Решение. = 
Чтобы упростить это выражение, сначала домножим на 
в числителе и знаменателе, затем на 2, затем домножим 
, которое есть в знаменателе, на все слагаемые слева от него.
= 
= 
Отдельный множитель в знаменателе наоборот, лучше не объединять со знаменателем большой дроби, ведь он и так соответствует полюсу . Чтобы не приводить к 3-й степени и не усложнять поиск корней многочлена, лучше оставить это отдельно, и найти 2 корня многочлена второй степени.
Итак, получили 
. Один полюс видно сразу, ищем 2 других. Ищем корни многочлена 
.
. 
= 
= 
. При этом 
по модулю больше 1, т.е. этот полюс вне единичного круга, а точка 
внутри круга.
Итак, 2 из 3 полюсов внутри круга радиуса 1, т.е. интеграл определяется суммой вычетов в них.
Подынтегральную функцию можно представить в виде: 
впрочем, когда мы будем считать вычет в 0, те две скобки можем для краткости опять объединить.
Итак, мы должны вычислить 
, причём полюсы 1-го порядка.
=
=
= 
=
= 
= 
= 0.
Для сравнения, покажем решение этой задачи методами прошлого семестра, без вычетов. Можно было применить универсальную тригонометрическую подстановку, но лучше подвести под знак дифференциала.
= 
= 
= 
= 
= 0. Ответ.0.