Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

П. 2. По действительной оси.  Просмотрен 12

Задача 66. Вычислить интеграл с помощью ычетов.

Решение.Рассмотрим функцию , её можно представить в виде , есть 4 полюса первого порядка: . Интеграл по границе верхнего полукруга равен сумме вычетов в 2 точках, а именно . Если радиус больше 6, то обе точки внутри полукруга, и при дальнейшем увеличении радиуса интеграл уже не изменится. При этом из теории известно, что при увеличении радиуса, доля результата, приходящегося на горизонтальный отрезок, растёт, а по дуге - стремится к 0, потому что здесь степень знаменателя на 4 больше, чем числителя, то есть модуль функции величина порядка , а дуга длины . Поэтому интеграл по дуге меньше, чем , и стремится к 0. В пределе, действительная ось - граница верхней полуплоскости.

Таким образом, = , где .

= =

= = = = .

Ответ. .

Задача 67.Вычислить интеграл .

Решение.Найдём корни знаменателя функции .

= . Тогда = .

В верхней полуплоскости только один полюс, .

= =

= = = .

Ответ. .

Замечание. Для сравнения, покажем и решение методами прошлого семестра, без комплексных чисел и вычетов.

= = = = .

Задача домашняя.Вычислить интеграл .

Указание. Корни . Ответ. .

Задача 68.Вычислить интеграл .

Решение.Корни . Из них в верхней полуплоскости .

=

= =

= = .

Ответ. .

Задача 69.Вычислить .

Решение.Для решения таких задач во 2 семестре требовалось использовать рекуррентную формулу, чтобы свести к меньшей степени. А с помощью вычетов, это не нужно, отличие лишь в том, что полюс 2-го порядка, и надо будет использовать обобщённую интегральную формулу Коши (с производной). Тот факт, что интеграл по полуоси, не существенен: мы можем, пользуясь чётностью функции, удвоить до интеграла по всей оси (а потом разделить на 2) то есть решить этим методом можно.

= . Для функции

в верхней полуплоскости единствнееая особая точка, это , полюс 2-го порядка.

= = =

= = = . Ответ. .

Предыдущая статья:П. 1. По замкнутому контуру. Следующая статья:Практика 8 (неделя с 19 по 25 октября).
page speed (0.0263 sec, direct)