Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

Приближение функции. Аппроксимация. Интерполяция.  Просмотрен 29

Лекция 7

 

Рассматриваются задачи, в которых необходимо найти способ приближенного вычисления значения функции в заданной точке. Эти задачи возникают в тех случаях, когда прямое вычисление данной функции для произвольного аргумента невозможно или очень трудоемко. Если функция определяется как решение сложной задачи, требуется упрощение функциональной зависимости. Если значения функции определяются в результате дорогостоящих экспериментов и могут быть найдены ее значения только в некоторых точках, то для вычисления значения в произвольной точке требуется приближенный метод. Этой цели служит задача аппроксимации (approximation - приближение). Данную функцию (заданную аналитически или таблично) требуется приближенно заменить некоторой другой аппроксимирующей функцией так, чтобы отклонение (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Если аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), она называется непрерывной или интегральной. При интегральной квадратичной аппроксимации функции на отрезке параметры аппроксимирующей функции определяются из условия: Если приближение строится на дискретном множестве точек , , аппроксимация называется точечной или дискретной. При точечной квадратичной аппроксимации параметры аппроксимирующей функции определяются из условия: Наиболее распространенным методом аппроксимации экспериментальных данных является метод наименьших квадратов (МНК) (в англоязычной литературе Ordinary Least Squares, OLS).

Пусть заданы значения функции , соответствующие значениям ,

. Пусть аппроксимирующая функция зависит от параметра ( ). При точечной квадратичной аппроксимации параметры аппроксимирующей функции определяются из условия минимума суммы квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от заданных значений функции:

 

Рис.1. Аппроксимирующая кривая, построенная по методу наименьших квадратов

Вид функции определяется особенностями решаемой задачи. Если аппроксимирующая функция линейно зависит от параметров, то метод наименьших квадратов приводит задачу их определения к решению СЛАУ.

Вид аппроксимирующей функции:

1) линейная регрессия ;

2) полиномиальная регрессия

,

3) линейная комбинация линейно независимых функций

где, φi(x) - заданная система достаточно гладких, линейно-независимых функций.

Рассматривается применение метода МНК для определения неизвестных параметров функции при аппроксимации полиномом степени:

 

Необходимым условием существования минимума функции является равенство нулю ее частных производных по неизвестным переменным . В результате получается следующая система уравнений:

Раскрывая скобки и перенося свободные слагаемые в правую часть выражения, полученная СЛАУ примет вид:

 

Данная система линейных алгебраических уравнений может быть переписана в матричном виде:

 

В результате получена СЛАУ размерностью с неизвестными. Данная система может быть решена с помощью любого метода решения линейных алгебраических уравнений (например, методом Гаусса). В результате решения будут найдены неизвестные параметры аппроксимирующей функции, обеспечивающие минимальную сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от исходных данных, т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение.

Линейная регрессия

Для аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости, условие минимума суммы квадратов отклонений записывается в следующем виде:

Необходимым условием существования минимума функции является равенство нулю ее частных производных по неизвестным переменным:

Полученная СЛАУ после преобразования:

Если зависимость аппроксимирующей функции от параметров нелинейна, то для определения параметров приходится решать нелинейные задачи. Иногда с помощью преобразований функцию с нелинейной зависимостью от параметров можно свести к функции с линейной зависимостью.

1) Экспоненциальная аппроксимация. Аппроксимирующая функция задана экспоненциальной функцией вида:

Для применения метода наименьших квадратов экспоненциальная функция линеаризуется:

 

2) Степенная аппроксимация. Аппроксимирующая функция задана степенной функцией вида:

Для применения метода наименьших квадратов степенная функция линеаризуется:

 

Предыдущая статья:й вопрос. Структура общего решения линейного однородного уравнения второго порядка Следующая статья:Интерполяция функций
page speed (0.0125 sec, direct)