Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Электроника

Изучение правил Кирхгофа для электрических цепей  Просмотрен 55

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

ПО ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМУ

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №ЭМ-6

ИЗУЧЕНИЕ ПРАВИЛ КИРХГОФА

ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

 

Методическое руководство

разработано доц. Суворовой З.В.

Рецензент доц. Шалагина Е.В.

 

Рыбинск, 2012

 

ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

Убедиться в присоединении заземляющего провода к корпусу установки.

Включать установку только с разрешения преподавателя.

Не прикасаться к оголенным токонесущим элементам установки.

При обнаружении неисправности установки обесточить ее и немедленно известить преподавателя.

Цель работы: экспериментальная проверка правил Кирхгофа для электрических цепей.

Приборы и оборудование: лабораторная установка, стрелочный вольтметр, источник питания.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1. 1.ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. СИЛА И ПЛОТНОСТЬ ТОКА

Электрический ток – это всякое упорядоченное движение электрических зарядов. Электрический ток, который возникает как упорядоченное движение свободных зарядов под действием электрического поля в проводящих средах, называется током проводимости.

Для существования и появления тока необходимы следующие условия:

1) наличие в данной среде свободных носителей заряда, т.е. частиц, которые могли бы упорядоченно перемещаться.

2) существование в данной среде внешнего электрического поля, энергия которого расходуется на упорядоченное перемещение электрических зарядов.

3) источник энергии, пополняющий запас энергии электрического поля.

За положительное направление тока принято направление упорядоченного движения положительных электрических зарядов.

Сила тока – это скалярная величина, равная отношению заряда dq, переносимого через рассматриваемую поверхность dS за малый промежуток времени, к величине dt этого промежутка:

.

Если сила и направление тока не меняется во времени, ток называется постоянным:

,

где q – заряд, переносимый через рассматриваемую поверхность за конечный интервал времени t .

Сила тока в системе СИ измеряется в Амперах .

Характеристикой тока, отражающей его распределение по поверхности, является плотность тока . Плотность тока – векторная величина, направленная противоположно движению электронов, и численно равная отношению силы тока через очень малый элемент поверхности, нормальный к направлению движения зарядов, к величине площади этого элемента:

,

где – орт вектора , совпадающий с нормалью к поверхности . Для произвольно ориентированного элемента dS имеем:

,

где – угол между направлением тока и нормалью к dS.

Для постоянного тока по всему поперечному сечению S однородного проводника, сила тока I = jS.

Зная вектор в каждой точке пространства, можно найти силу тока через любую поверхность :

.

Таким образом, сила тока есть поток вектора плотности тока через поверхность S.

Электрический ток может быть обусловлен движением как положительных, так и отрицательных носителей.

Перенос отрицательного заряда в одном направлении эквивалентен переносу такого же по величине положительного заряда в противоположном направлении.

Если ток создается носителями обоих знаков, и за время dt через данную поверхность положительные носители переносят заряд в одном направлении, а отрицательные – заряд в противоположном, то

.

Поле вектора плотности тока можно изобразить с помощью линий тока, которые стоятся так же, как линии вектора . Линии тока – это кривые, касательные в каждой точке к которым совпадают по направлению с вектором .

Пусть в единице объема содержится положительных носителей и – отрицательных. Алгебраическая величина зарядов носителей равна соответственно и . Если под действием поля носители приобретают средние скорости и , то за единицу времени через единичную площадку пройдет положительных носителей, которые перенесут заряд , отрицательные носители перенесут в противоположном направлении заряд .

Тогда плотность тока равна , или в векторной форме , оба слагаемых имеют одинаковое направление (скорость направлена противоположно , дает знак минус, поэтому имеет то же направление, что ).

Произведение – плотность заряда положительных носителей, – плотность заряда отрицательных носителей, тогда

.

Рассмотрим некоторую среду, в которой течет ток. Выберем воображаемую замкнутую поверхность S. Заряд, выходящий в единицу времени из объема V,ограниченного поверхностью S, согласно закону сохранения заряда, равен скорости убывания заряда q, содержащегося в данном объеме (рис.1)

.

Но , тогда .

Преобразуем это выражение по теореме Остроградского-Гаусса, имеем . Это равенство выполняется при произвольном выборе объема V, следовательно, в каждой точке пространства должно выполняться условие

.

Это равенство получило название уравнения непрерывности. Оно выражает закон сохранения заряда. Согласно этому уравнению, в точках, которые являются источниками вектора , происходит убывание заряда.

В случае стационарного тока объемная плотность заряда не зависит от времени, тогда уравнение непрерывности имеет вид:

- в случае постоянного тока вектор не имеет источников. Это означает, что линии тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Следовательно, линии постоянного тока всегда замкнуты, и число линий, входящий в замкнутую поверхность, равно числу линий, выходящих из поверхности, .

 

1.2. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА

Рисунок 2.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю, поэтому в замкнутой цепи наряду с участками, на которых положительные носители движутся в сторону убывания потенциала , должны иметься участки, на которых перенос положительных зарядов происходит в направлении возрастания , т. е. против сил электростатического поля. Перемещение носителей на этих участках возможно лишь с помощью сил неэлектрического происхождения, называемых сторонними силами. Таким образом, для поддержания тока необходимы сторонние силы, действующие либо на всем протяжении цепи, либо на отдельных ее участках. Эти силы могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей тока в неоднородной среде и т.д. Сторонние силы действуют на носители тока, вызывая их упорядоченное движение, и поддерживают ток в цепи (рисунок 2).

Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по цепи, называется электродвижущей силой (ЭДС) :

.

Если на заряд q действует сторонняя сила , где –напряженность поля сторонних сил, то работа сторонних сил над зарядом q на участке цепи 1-2 равна:

.

Для ЭДС на участке цепи имеем: . Если цепь замкнута – ЭДС равна циркуляции вектора напряженности поля сторонних сил.

Кроме сторонних сил, на заряд действуют силы электростатического поля:

.

Результирующая всех сил: .

Работа этой силы под зарядом q на участке 1-2

Для единичного положительного заряда

– мы получили выражение для падения напряжения на данном участке.

Падением напряжения (или просто напряжением) на участке цепи 1-2 называется физическая величина, численно равная работе, совершаемой суммарным полем кулоновских и сторонних сил при перемещении вдоль цепи единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Если (сторонние силы не действуют) участок называется однородным:

.

 

1.3. ЗАКОН ОМА. СОПРОТИВЛЕНИЕ

Закон Ома был экспериментально открыт в 1826 году в следующей форме:

Сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике:

, (1)

где R электрическое сопротивление проводника, , -удельное сопротивление ( ), – длина, S – площадь сечения проводника.

Однородным называется такой участок цепи, на котором действуют только электростатические силы. Выражение (1.1) определяет соотношение между током и напряжением для однородного участка цепи и называется законом Ома в интегральной форме.

Единица сопротивления – Ом,

 

1.4. ЗАКОН ОМА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ

На носители тока на неоднородном участке цепи действуют, кроме электростатических сил , еще и сторонние силы (рисунок 3). Сторонние силы способны вызывать упорядоченное движение носителей тока так же, как и силы электростатические. На неоднородном участке цепи средняя скорость упорядоченного движения носителей пропорциональна суммарной силе , тогда плотность тока

(2)

– это закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной форме.

Перейдем к интегральной форме этого закона. Рассмотрим неоднородный участок цепи. Допустим, что внутри этого участка существует линия (контур тока) удовлетворяющая следующим условиям:

1) в каждом сечении, перпендикулярном к контуру, величины , , и имеют с достаточной точностью одинаковые значения;

Рисунок 3.

2) векторы , , в каждой точке направлены по касательной к контуру. Поперечное сечение проводника может быть непостоянным.

Выберем произвольно направление движения по контуру. Пусть выбранное направление соответствует перемещению от конца 1 к концу 2 участка цепи. Спроектируем выражение (2) на элемент контура1-2:

, (3)

причем ; ; . Знак «+» берем в том случае, если ток течет от 1 к 2, «–»если ток течет в направлении 2 к 1. Вследствие сохранения заряда сила постоянного тока в каждом сечении должна быть одинаковой. Поэтому вдоль контура . Силу тока в данном случае нужно рассматривать как алгебраическую величину. Направление 1-2 выбрано произвольно, поэтому, если ток течет в выбранном направлении, его считают положительным, если в направлении 2-1 – отрицательным. Заменим ; , тогда из (3):

.

Умножим это выражение на и проинтегрируем вдоль контура:

.

Здесь – сопротивление всей цепи, – разность потенциалов на сопротивление R, – ЭДС, действующая на участки 1,2. Тогда , а ток

– это закон Ома для неоднородного участка цепи.

Если цепь замкнутая, то ; и .

Тогда – закон Ома для замкнутой цепи. Если в цепи действует несколько ЭДС, то равна их алгебраической сумме.

 

1.5.РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ. ПРАВИЛА КИРХГОФА

На практике часто требуется рассчитать разветвленную цепь. Это цепь, содержащая несколько ветвей. Ветвь образуется одним или несколькими последовательно соединенными участками цепи. Место соединения трех или более ветвей называется узлом (рисунок 4) Ветви, присоединенные к одной паре узлов, называются параллельными. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называется контуром (рисунок 5). Рассчитать электрическую цепь – означает вычислить токи во всех ее ветвях по известным значениям сопротивлений и ЭДС, действующих в ветвях. Этот расчет упрощается, если использовать правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (4)

Если ток направлен к узлу, он входит в выражения (4) со знаком «+». Если от узла – со знаком «–».

Это правило вытекает из уравнения непрерывности, т. е. в конечном счете, из закона сохранения заряда. Действительно, для постоянного тока , тогда поток вектора через любую замкнутую поверхность, окружающую узел, равна нулю, Но поток равен алгебраической сумме токов, сходящихся в узле, следовательно, . Если ток направлен к узлу, он входит в выражения (4) со знаком «+». Если от узла – со знаком «–».

Второе правило относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру и является обобщением закона Ома на разветвленные цепи:

(5)

– сумма падений напряжений на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. Здесь n – число участков, на которые контур разбивается узлами, – соответственно, сила тока, сопротивление и ЭДС k-того участка.

а) б) Рисунок 7.

Для составления уравнений (5) необходимо произвольно выбрать направление обхода контура (по часовой стрелке или против нее). Все токи на участках, совпадающие с направлением обхода, считают положительными, несовпадающие – отрицательными. Далее, необходимо учитывать правило знаков для ЭДС источников: если напряженность поля сторонних сил в источнике совпадает с направлением обхода участка (т.е. внутри источника обход связан с перемещением положительных зарядов от катода к аноду), то при подсчете ЭДС этого источника считают положительной, в противном случае – отрицательной (рисунок 6).

 

На рисунке 7 а) выбрано направление обхода слева на право. Направление тока на участке цепи 1-2 I совпадает с выбранным направлением обхода, поэтому ток входит в уравнение со знаком «+». Сторонние силы заставляют положительные заряды двигаться внутри источника от «-» к «+» и вызывают ток , который течет слева направо. Это направление совпадает с выбранным раннее направлением обхода, поэтому ЭДС 12 = , положительна.

На рисункt 7 б) сторонние силы заставляют двигаться положительные заряды от «–» к «+» внутри источника тока и вызывают ток , направленный справа налево (от точки 2 к точке 1). Таким образом, направление тока , создаваемого источником, противоположно выбранному направлению обхода. В этом случае ЭДС учитывается со знаком «–»: 12 = – .

При расчете разветвленных цепей постоянного тока рекомендуется:

– произвольно выбрать и обозначить на схеме цепи направления токов во всех участках цепи;

– для каждого узла цепи записать уравнение для токов по первому правилу Кирхгофа;

– выделить в разветвленной цепи всевозможные замкнутые контуры, в каждом контуре произвольно выбрать направления обхода и записать уравнения для напряжений по второму правилу Кирхгофа; при составлении уравнений контуры следует выбирать так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входящий в уже рассмотренные контуры;

– из записанных уравнений выбрать k любых независимых уравнений (k – число неизвестных токов); решая полученную систему, найти значения токов;

– если в результате расчета получается отрицательное значение силы тока на каком-либо участке цепи, это означает, что электрический ток в действительности идет в направлении, противоположном выбранному при расчете.

Рассмотрим пример расчета разветвленной цепи, представленной на рисунке 6. Выберем направление обхода контура АВСD – против часовой стрелки, а контура AFED –по часовой стрелке. Такой выбор позволяет учитывать ЭДС, действующие в контурах, со знаками «+». Токи в ветвях обозначим , . В этой цепи два узла – A и D, независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа – одно:

(6)

Цепь содержит два независимых контура АВСD и AFED. По второму правилу Кирхгофа уравнения для этих контуров имеют вид:

; . (7)

Решив систему уравнений (6) – (7), находим неизвестные токи.

 

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ИЗМЕРЕНИЙ

Для экспериментальной проверки правил Кирхгофа используется лабораторная установка, представляющая собой прибор настольного типа и используемая в двух вариантах. В установке смонтированы:

– стрелочный вольтметр с диапазоном измерений от 0 до 20В (во втором варианте – диапазон от 0 до 3В);

– исследуемая электрическая схема;

– источник питания, ЭДС которого = 20В.

Электрическая схема установки представлена на рисунке 8.

На лицевой панели установки расположены (рисунок 9) гнезда 1 А, В, С, D, Е, тумблер 2 «Сеть», сигнальная лампочка 3, щуп 4 F, подключенный к вольтметру и к кабелю «Земля», шкала вольтметра V 5.

Источник питания включает в себя последовательно соединенные понижающий трансформатор, выпрямитель тока и стабилизатор. Значения сопротивлений, включенных в цепь, равны: R1 = 215 Ом; R2 = 500 Ом; R3 =193 Ом; R4 = 103 Ом; R5 = 130 Ом; R6 = 333 Ом; R7 = 323 Ом; R8 = 163 Ом.

Питание установки осуществляется от сети напряжением 220 В.

Методика эксперимента состоит в следующем. Последовательно помещая щуп Щ в разные гнезда схемы (А, В, С, D, Е), находят разность потенциалов между каждой из этих точек и точкой F: φА – φF; φВ – φF и т. д. Учитывая, что потенциал φF = 0 («Земля»), получаем: φА = φА – φF;

φВ = φВ - φF и т. д.

По закону Ома имеем:

φА – φВ = I6R6;

φВ – φС = I2R2; (8)

φС – φD = I1R1,

и т. д. φА = . Формулы (8) позволяют рассчитать токи во всех участках цепи.

 

F
E
D
С
В
А
одно деление 0,5 В
Щ (щуп)

Рисунок 9.

 

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Включить в сеть вилку сетевого шнура установки.

2. На лицевой панели установки включить тумблер «Сеть».

3. Вставляя последовательно щуп Щ в гнезда А, В, С, D, Е , определить потенциалы этих точек и занести в таблицу 1.

4. Выключить установку. Для этого выключить тумблер «Сеть» на лицевой панели установки, выключить из сети вилку сетевого шнура.

 

4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Таблица 1

φА, В φВ, В φС, В φD, В φE, В φF, В , в
       
      

 

1. Пользуясь правилами Кирхгофа, рассчитать цепь, представленную на рисунке 8, считая = 20В.

Результаты расчетов теоретического значения силы тока свести в таблицу 2, Iтеор.

Таблица 2

  I1, А I2, А I3, А I4, А I5, А I6, А I7, А I8, А
Теорет.        
Экспер.        
        

 

2. По формулам (8) рассчитать токи через все сопротивления цепи. Результаты расчетов свести в таблицу 2, Iэкс.

3. Проверить выполнение первого правила Кирхгофа.

4. Найти ЭДС источника = φА – φF

5. На основании второго правила Кирхгофа с использованием найденных экспериментальных значений токов для указанных в таблице 3 контуров определить в цепи. Найти среднее значение и погрешность.

Таблица 3

контур Δ ср Δ ср %
ABF     
ABEF     
ABCDEF     
ABCEF     
     

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое электрический ток?

2. При каких условиях ток является постоянным? Почему?

3. Что такое плотность тока? Как вектор связан с силой тока?

4. Выведите уравнение неразрывности.

5. Какую роль играют сторонние силы в цепи постоянного тока?

6. Что такое ЭДС, чему она равна в замкнутой цепи? Поясните физический смысл ЭДС, напряжения и разности потенциалов участка цепи.

7. Сформулируйте закон Ома в интегральной и дифференциальной форме для однородного и неоднородного участков цепи.

8. Сформулируйте правила Кирхгофа. На каких законах физики они основаны?

9. Как правильно выбрать знак ЭДС?

10. Каков порядок расчета разветвленных цепей?

11. Пользуясь правилами Кирхгофа, рассчитайте одну из цепей (рисунок 10 а, б).

12. Сделайте выводы по результатам таблицы 2. Почему существует различие между теоретическим и экспериментальным значениями силы тока?

13. Прокомментируйте таблицу 3. Почему значение одной и той же ЭДС для разных контуров

различаются?

 

6. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

Отчет по работе должен содержать название работы, ее цель, краткие теоретические сведения, рисунок лабораторной установки и электрические схемы опытов (рисунок 8), сводка расчетных формул, результаты эксперимента с расчетом погрешностей, таблицы обработки результатов 1 и 2, выводы по работе.

 

 

7. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иродов И.Е. Электромагнетизм. : Учебное пособие /И.Е. Иродов.- М: Физматлит.2001- 430с.

2. Савельев И.В. Курс общей физики .В 3-х т. [Текст] : Учебное пособие / И. В. Савельев. – Изд.5-е,стереотип. – СПб.: Изд-во “Лань”, 2006. - Т.2. Электричество и магнетизм. Оптика. – 496с.

 

Предыдущая статья:ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛА Следующая статья:Природа Европы
page speed (0.0341 sec, direct)