Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

Я часть контрольной работы  Просмотрен 23

Вариант – 4

n - номер варианта в задачах 1, 3, 5. Задачи 2, 4 – общие для всех.

.

1. В третьем семестре изучаются 11 дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание на какой-либо день недели, если в этот день должны быть четыре пары по различным дисциплинам?

Решение:

Каждый вариант расписания представляет набор 4 дисциплин из 11, отличающийся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования (или тем и другим), т.е. является размещением из 11 элементов по 4.

.

Ответ: 7920 способов.

 

2. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что цифры в числе не повторяются.

Решение:

Для того чтобы число, составленное из заданных цифр, делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е.

.

Ответ: 120.

 

3. В чемпионате по футболу участвуют 14 команд, причем каждые две команды встречаются друг с другом дважды. Сколько матчей будет проведено?

Решение:

Число матчей в первом круге равно количеству сочетаний из 14 элементов по 2:

.

Во втором круге играется столько же матчей, поэтому в течение сезона состоится 182 встречи.

Ответ: 182 встречи.

 

4. Найти выражение для суммы первых N «треугольных» чисел

(написать формулу для N – го «треугольного» числа:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,…

Решение:

Формула для N – го «треугольного» числа:

или

.

Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по формуле:

.

 

5. Последовательность Фибоначчи задаётся рекуррентным соотношением и начальными условиями

Найти выражение для общего члена последовательности и выписать её первые 13 членов.

Решение:

Данную последовательность можно задать рекуррентно:

и начальными условиями

 

Характеристическое уравнение для последовательности имеет вид

λ2 – λ – 1 = 0 .

Найдем его корни:

Поскольку корни характеристического уравнения вещественные и различные, то общее решение рекуррентного уравнения имеет вид

где c1 и c2 – произвольные действительные числа.

Найдем теперь значения произвольных постоянных c1 и c2 так, чтобы для последовательности

(*)

выполнялись начальные условия. Это означает, что числа c1 и c2 должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Решим полученную систему уравнений:

Для того, чтобы решить последнюю систему, вычтем первое уравнение из второго уравнения, оставив первое уравнение без изменений:

Подставляя найденные значения произвольных постоянных c1 и c2 в формулу (*), получаем искомую формулу общего члена последовательности Фибоначчи:

Первые 13 членов:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

 

 


Предыдущая статья:я часть контрольной работы Следующая статья:я часть контрольной работы
page speed (0.0414 sec, direct)