Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Статистика

Аналитические и численные методы в планировании экспериментов и инженерном анализе  Просмотрен 9

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по Аналитические и численные методы в планировании экспериментов и инженерном анализе

наименование дисциплины

 

Планирование и организация эксперимента

наименование темы

 

Оренбург 20

 

 

 

№1. Обработка результатов наблюдений над случайной величиной.

Цель работы: получить навыки и умения определения числовых характеристик случайной величины с целью идентификации закона распределения.

Задачи:

- используя пример выполнения практической работы обработать результаты наблюдений с целью идентификации закона распределения;

- ответить на контрольные вопросы.

1. Формируем статистическую совокупность

Таблица 1.1- Первичная статистическая совокупность

xi xi xi xi xi
          
          
          
          
          
          
          
          
          
          
         

 

2. Формируем упорядоченную статистическую совокупность (Таблица 1.2)

Таблица 1.2 –Упорядоченная статистическая совокупность

xi xi xi xi xi
          
          
          
          
          
          
          
          
          
          
         

3. Находим наибольшее и наименьшее значение исходных данных

xmin=175; xmax=197

4. Определяем размах варьирования выборки

R = x max – x min =197-175=22;

5. Определяем количество интервалов группирования

K=1+3.3lg n=1+3,3lg 50=1+3,3*1,69=6,5

принимаем K=6.

6.Определяем величину интервала группирования

H=

принимаем Н=4;

7. Находим центр распределения выборки

D= 186.

8.Расчет частот, частостей, накопленных частот, накопленных частостей, плотности распределения частот и частостей (результат заносим в сводную таблицу 1.3).

Таблица 1.3 – Сводная таблица

Границы интервалов Середины интервалов х Частоты ni Частности Рi=ni/n Накопленные частоты Hi Накопленные частности PH=Hi/n Плотность частот F= n i/h Плотность частостей Fn=Pi/h
  175-179     0.12   0,12 1,5 0,03
  179-183     0,22   0,34 2,75 0,05
  183-187     0,4   0,74   0,1
  187-191     0,16   0,9   0,04
  191-195     0,08   0,98   0,02
  195-199     0,02     0,25 0,005
  ∑=50 ∑=1      
        

 

9. Построение гистограммы (рисунок 1.1)

 

 

Рисунок 1.1- Гистограмма

10. Построение ломаной кумуляты (рисунок 1.2)

Рисунок 1.2 – Ломанная кумулята

 

 

11. Построение полигона ( рисунок 1.3)

Рисунок 1.3 – Полигон

 

12. Построение ступенчатой кумуляты ( рисунок 1.4)

Рисунок 1.4 – Ступенчатая кумулята

3. Определение числовых характерик эмпирического распределения.

Определение математического ожидания:

 

X= 185

Где Х – математическое ожидание;

n- объем выборки;

xi – случайная величина.

14. Определение дисперсии – D

D= = 24,26

15.Определение среднего квадратического отклонения (СКО):лшл

16.Определение коэффициента вариации:

V=

где - среднее квадратическое отклонение;

- математическое ожидание.

17. Определение медианы (аналитичекое и графическое)

Аналитическое определение медианы:

Находим интервал, содержащий медиану, путем использования накопленных частот Нi. Медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот, превышающая половину всего объема совокупности.

= 183+ 184,6

Где - нижняя граница медианного интервала;

h- ширина интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующая медианному;

n – объем выборки.

Графическое определение медианы:

Последнюю ординату кумуляты, делим пополам. Из полученной точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и дает значение медианы.

Проверка аналитического и графического метода определения медианы

(аналитическая) (графическая)

18. Определение моды.

Находим модальный интервал, т.е. интервал, содержащий моду, по наибольшей частоте:

= 184,7

Где - нижняя граница модального интервала;

h- ширина интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, последующего за модальным;

19. Определение асимметрии и эксцесса

Вычисления осуществляем по способу «условного нуля», используя вспомогательные коэффициенты (Х()=185 – середина интервала с максимальной частотой). Полученные данные заносим в таблицу 1.4.

Таблица 1.4 – Определение асимметрии и эксцесса

Границы интервалов Частота ni Середина интервала Хi ni∙ ni∙ ni∙ ni∙
  175-179     -2 -12   -48   -1 
  179-183     -1 -11   -11   
  183-187         
  187-191         
  191-195         
  195-199         
        -4     
          

 

20. Расчитаем вспомогательные коэффициенты:

ℽ1= ;

ℽ2= ;

ℽ3= ;

ℽ4= ;

= ;

Проверка:

= 4ℽ1+6ℽ2+4 ℽ3+ ℽ4+1=4∙(-0.08)+6∙1,36+4∙0,16+5,2+1=14,68;

Найдем:

(0,08)2=0,0064;

(0,08)3= - 0,000512;

(0,08)4=0,00004096;

µ1= =1,36-0,0064=1,3536;

µ2= ℽ3-3ℽ1ℽ2+3 0,16-3∙(-0,08)∙1,36+2∙(0,000512)=0,485376;

µ3= ℽ4-4ℽ1ℽ3+6 5,2-4∙(-0,08)∙0,16+6∙0,0064∙1,36-3∙0,00004096=5,25722112;

Проверка:

ℽ4= µ3+4ℽ1 µ2+6 µ1+ =5,25722112+4∙(-0,08)∙0,485376+6∙0,0064∙1,3536+0,00004096=5,16;

=x0+hℽ1=185+4∙(-0,08)=184,68;

S=h =4 =4,652;

A2= = 0,308;

Ex= ;

Так как результат для АS положительный, то следовательно, асимметрия правосторонняя (математическое ожидание расположено правее моды).

Так как эксцесс отрицательны, то следовательно, вершина эмпирической кривой распределения лежит выше вершины теоретической кривой.

21. Выбор теоретического закона распределения (выбор осуществляем по коэффициенту вариации, а также по виду полигона и гистограммы). В нашем случае коэффициент вариации равен 2,7% по таблице 1,5 выбираем нормальны закон распределения.

Таблица 1.5 –Соотношение коэффициента вариации и закона распределения

ν Вид закона распределения
0,08-0,4 Нормальный закон
0,4-0,85 Закон Вейбулла
0,35-0,8 Логарифмический закон
0,6-1,3 Экспоненциальный закон
 

 

22. Расчет теоретической кривой нормального закона распределения (таблица 1.6). Значения функции представлены в приложении.


Таблица 1.6 Расчет теоретической кривой нормального закона распределения.

Границы интервалов Середина интервала ) Частоты Нормированное отклонение t= Теоретические частоты nt=
Вычисл. Огруг.      
        
  175-179     -8 -1.63 0,1057 4,29
  179-183     -4 -0.82 0,2850 11,57
  183-187         0,3989 16,19
  187-191       0.82 0,2850 11,57
  191-195       1.63 0,1057 4,29
  195-199       2.45 0,0198 0,80
       

 

Таблица 1.7 Расчет теоретической кривой нормального закона распределения.

Границы интервалов Середина интервала Теоретические частоты nt Частости теоретические Накопленные частоты теоретические Накопленные частости теоретические
       
  175-179     0,1   0,1
  179-183     0,22   0,32
  183-187     0,32   0,64
  187-191     0,24   0,88
  191-195     0,1   0,98
  195-199     0,02  
      

 

23. Проверка гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону с использованием критерия согласия Пирсона (х2).

Вычисляем критерий Пирсона (х2):

х2=

где – эмпирические частоты;

К –количество интервалов.

Определяем число степеней свободы:

R=K-q-1=6-2-1=3

Где q –число используемых параметров ( для нормальнго закона q=2, так как в нормальном законе используются два параметра – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение).

Задаемся уровнем значимости α=0,01, и, для удобства вычислений, расчеты приводим в таблицу 1.8.

Таблица 1.8 – Расчет критерия согласия Пирсона

Границы интервалов Середина интервала Частоты эмпирические ni Частоты теоретические
  175-179         0,2
  179-183     
  183-187     
  187-191         1,3
  191-195         0,2
  195-199     
х2= 2,7     
      

 

Сравниваем фактическое значение х2 с табличным =11,345 (приложение Д).

Так как 11,345>2,7, то можно утверждать, что гипотеза о принадлежности опытных данных нормальному закону распределения принимается.

Исходя из этого, функция плотности распределения вероятностей для нормального закона распределения будет иметь вид:

 

 

 

№2. Дисперсионный анализ.

Цель работы : получить навыки и умения применения дисперсионного анализа при построении однофакторного и двухфакторного комплекса.

Задачи:

- выявить влияние одного фактора на исследуемый признак наблюдений;

- выявить влияние двух факторов «А» и «В» на исследуемый признак наблюдений.

Дисперсионный анализ – это статистический метод анализа результатов наблюдений, зависящих от одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных факторов и оценка их влияния.

Идея дисперсионного анализа заключается в разложении общей дисперсии случайной величины на независимые случайные слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение этих дисперсий позволяет оценить существенность влияния факторов на исследуемую величину.

Если исследуется влияние одного фактора на исследуемую величину, то речь идет об однофакторном комплексе. Если изучается влияние двух факторов – двухфакторный комплекс.

 

2.1 Однофакторный дисперсионный анализ.

Пусть имеется четыре партии сырья для текстильной промышленности. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки. Требуется выяснить, существенно ли влияние различных партий сырья на величину разрывной нагрузки.

1.Запишем матрицу наблюдений (таблица 2.1)

Таблица 2.1 – Матрица наблюдений

Номер партии (m) Разрывная нагрузка (n)
  
  
  
  
  
 

 

2. Находим среднее арифметическое значение по каждой строке:

(

4.Вычисляем Q1:

K1=m-1=3

Q1=n 4980

5.Вычисляем Q2:

 

K2=mn-n=16

Q2= 7270

6.Вычисляем Q:

 

K=mn-1=19

Q= 12250

7.Результаты вычислений заносим в сводную таблицу 2.2.

Таблица 2.2- Результаты однофакторного дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии Сумма квадратов Число степеней свободы Средний квадрат
Межгрупповая   
Внутригрупповая     454,4
Полная     644,7
   

 

8. Расчитываем F критерий (F=3,65).

9. По таблице, представленной в приложении В, находим F –критерий (табличный) Fα = 5,29 (α=0,01).

Так как вычисленное значение F – критерия меньше табличного значения, то можно утверждать, что различие между сырьем в партиях не влияет на величину разрывной нагрузки.

2.2. Двухфакторный дисперсионный анализ

1. Запишем матрицу наблюдений (таблица 2.3).

А B   
B B B  
A1    
A2    
    11,5 9,5
    

 

Найдем Q1,Q2,Q3,Q по формулам:

Q1=ν

Q2=r

Q3=

Q=Q1+Q2+Q3=53,5

 

3.Найдем дисперсии:

D1=

D2=

D3=

4.Найдем расчетное значение F – критерия:

FA= =25;

FB= =4,3;

5.Табличное значение F – критерия (приложение В):

Fα(A)=18,5; Fα(B)=19.

6. Сравним табличное значение F – критерия с расчетным

FA > Fα(A) (фактор “А” - влияет);

FB < Fα(B) (фактор “В” - не влияет).

 

 

3. Корреляционный анализ.

Цель работы получить навыки измерения тесноты связи с помощью коэффициента корреляции и корреляционного отношения.

Задачи:

- изучить теоретические аспекты корреляционного анализа;

- рассчитать коэффициент корреляции и корреляционное отношение.

1. Группируем первичные данные в виде таблицы для расчета коэффициента корреляции (таблица 3.1):

Таблица 3.1 –Данные для расчета коэффициента корреляции

Xi Yi Xi Yi
  1,2     1,44
15,8 1,23 19,43 249,64 1,51
16,3 1,25 20,37 265,69 1,56
  1,2     1,44
15,1 1,15 17,36 228,01 1,32
16,1 1,15 18,51 259,21 1,32
16,3 1,2 19,56 265,69 1,44
15,2 1,11 16,87 231,04 1,23
18,5 1,2 22,2 342,25 1,44
17,3 1,13 19,54 299,29 1,28
19,5 1,2 23,40 380,25 1,44
  1,15 18,4   1,32
  1,22 20,74   1,49
16,8 1,19 19,99 282,24 1,42
18,4 1,28 23,55 338,56 1,64
16,4 1,2 19,68 268,96 1,44
  1,1 18,70   1,21
20,6 1,35 27,08 424,36 1,82
  1,3 23,40   1,69
17,1 1,25 21,37 292,41 1,56
∑=337,4 24,06 406,15 5735,6 29,01
    

 

2.Определяем суммы квадратов отклонений по формулам:

- =5735,60- =43,6

- =29,01- =0.07

3.Используя формулу определяем коэффициент корреляции:

r XY= =0.152

Полученная величина указывает на наличие положительной средней силы корреляционной связи между исследуемыми признаками.

4. Группируем первичные данные в виде таблицы 3.2 для расчета корреляционного отношения:

Таблица 3.2 – Данные для расчета корреляционного отношения

Группа Интервал Xi Yi
    
  7-8,5   6,8
  8,8  
8,3 8,4  
8,3 8,3  
8,4 7,9  
  8,5-10 8,5 9,1
8,9 10,4  
8,9 11,4  
  9,2  
9,1   
9,5 9,6  
9,8 10,2  
9,9 10,3  
  10-11,5 10,1 10,8
10,4 13,5  
10,6 9,6  
10,9   
10,9   
11,3   
11,4 12,9  
  11,5-13 11,6 16,2
11,7   
12,2 13,6  
12,5 14,4  
  15,4  
   

 

5. Находим среднее значение в каждой группе (таблица 3.3)

Таблица 3.3 – Расчет среднего значения в группе

Группа Частота Среднее значение в группе
    8,0
    10,0
    12,3
    14,3
  

 

6. Находим общее среднее:

11,112

7.Рассчитаем общую дисперсию:

 

8.Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

=4.69

9.Найдем коэффициент детерминации:

10. Найдем эмпирическое корреляционное отношение:

Таким образом, рассчитанное эмпирическое корреляционное отношение свидетельствует о достаточно высокой статистической связи между х и у.

 

Задание №4. Регрессионный анализ (способ наименьших квадратов).

Цель работы: получить знания, навыки и умения применения «способа наименьших квадратов» для аппроксимации опытных данных.

Связь между величинами – линейная (x)=a0+a1x (в таблице4,1 представлены исходные данные для расчета).

1. Система нормальных уравнений имеет вид:

Таблица 4.1 – Данные для расчета линейной регрессии

y x X2 yx (x)
  0,5 0,25 4,5 9,5945
  1,5 2,25 16,5 10,4235
11,5 2,5 6,25 28,75 11,2525
  3,5 12,25   12,0815
  4,5 20,25 58,5 12,9105
13,5 5,5 30,25 74,25 13,7395
∑у=70 ∑х=18 ∑ x2=71.5 ∑xу=224,5 (x)=70,002
    

 

Подставляем полученные суммы в систему и решаем ее:

Таким образом, мы получили линейное уравнение регрессии, которое имеет следующий вид:

y(x)=9,18+0,829x

Строим эмпирическую и теоретическую линии регрессии (рисунок 4.1):

Рисунок 4.1- Эмпирическая и теоретическая линии регрессии.

2. Расчет эмпирического уравнения для множественной линейной регрессии.

Найти эмпирическое уравнение регрессии между значениями y,z и x. Данные о корреляционной зависимости между этими признаками приведены в таблице 4.2.

Предполагая линейный характер связи между этими признаками и учитывая их буквенные обозначения, возьмем за исходное уравнение регрессии уравнение вида:

x=a+by+cz

которому отвечает выше приведенная система нормальных уравнений.

Необходимые суммы представлены в таблице 4.2. Подставляем их в уравнения системы:

Чтобы решить эту систему относительно параметров a,b и c, разделим каждое уравнение на коэффициент при а, что дает:

Затем, вычитая первое уравнение из второго, а второе – из третьего, получим:

Разделим каждое уравнение на коэффициент при b и найдем разность между полученными уравнениями

: Затем, вычитая второе уравнение из первого, получим:

-

с=0,4410

b+2.0831*0.441=2.54

b=2.54-0.9186=1.6213

В исходное уравнение вместо b и c подставляем их значения:

;

а = ;

=22.683+1.6213y+0.4410z

Подставляя в это уравнение задаваемые значения переменных y и z, можно определить ожидаемую величину переменной х.

Найденное эмпирическое уравнение уравнение регрессии показывает, что при изменении х на 1 число у при постоянном z измениться в среднем на 1,60, а число z при постоянной величине у измениться в среднем на 0,44.

 

Таблица 4.2 – Данные для расчета множественной линейной регрессии

 

y x z y2 x2 z2 xy xz yz
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
∑y=624 ∑x=165 ∑z=294 ∑ x2=40396 ∑ y2=2891 ∑ z2=9456 ∑xy=10724 ∑xz=5202 ∑yz=19273
        

 

5.Выбор объекта исследования, параметра оптимизации, влияющих факторов.

Цель работы: закрепление знаний, умений и навыков по выбору объекта исследования, влияющих факторов, параметра оптимизации.

Задачи:

1. выбрать объект исследования («черный ящик»), нарисовать его схему, описать принцип работы выбранного объекта;

2. обосновать выбор параметра оптимизации (у-отклик);

3. перечислить все влияющие факторы «x» на параметр оптимизации «у»;

4. зарисовать модель объекта исследования в виде «черного ящика».

В качестве объекта исследования выбираем «Информационно – аналитическую систему сбора и обработки данных об аварийности на автотранспорте».

Достоверность и оперативность получения данных о дорожно – транспортных происшествиях, а также своевременное обобщение и анализ сведений об авариях, позволяет специализированным государственным органам проводить учет и анализ обстановки, складывающейся на дорогах России, - оценивать общее состояние аварийности, изучать и устранять причины ДТП, выявлять опасные участки сети дорог с повышенной вероятностью возникновения ДТП (участков концентрации ДТП), разрабатывать и осуществлять эффективные меры по повышению безопасности движения на участках концентрации ДТП. Выявление и изучение факторов, значимо влияющих на риск ДТП при решении задачи повышения безопасности на дорогах, должно рассматриваться как приоритетная задача. Это позволяет принимать правильные комплексные решения, которые действительно смогут устранить сторонние причины ДТП.

В настоящее время учет дорожно – транспортных происшествий осуществляется:

1. Органами внутренних дел. На каждое ДТП, сведения о котором подлежат включению государственную статистическую отчетность заполняется карточка учета ДТП.

2. Владельцами транспортных средств. Статья 20 Закона о безопасности дорожного движения обязывает юридических лиц и индивидуальных предпринимателей, осуществляющих на территории РФ деятельность связанную с эксплуатацией транспортных средств, анализировать и устранять причины ДТП и нарушений правил дорожного движения с участием принадлежащих им транспортных средств. Учет осуществляется по трем составляющим:

2.1. в отношении водителя автомобиля, управляющего автомобилем;

2.2. в отношении транспортного средства, участвовавшим в ДТП;

2.3. в отношении должностных лиц субъекта транспортной деятельности, отвечающих за выпуск на линию автотранспортного средства.

3. Учет ДТП государственными органами управления автомобильными дорогами, владельцами ведомственных и частных дорог.

4. Учет погибших и раненных в ДТП в медицинских организациях.

Для обоснования соответствующих нормативов проводится исследование. На первом этапе этого исследования выявляются основные факторы, влияющие на формирование достоверной статистической отчетности.

После изучения априорных данных (литературных источников), ранее проведенных исследований в этой области были выбраны следующие четыре фактора, оказывающих воздействие на формирование статистической отчетности –«у»:

- учет ДТП в органах внутренних дел – x1;

- учет ДТП владельцами транспортных средств – x2;

- учет ДТП государственными органами управления автомобильными дорогами, владельцами ведомственных и частных дорог - x3;

- учет погибших и раненных в ДТП в медицинских организациях - x4;

Таким образом, на основании вышесказанного, мы можем представить объект исследования – «Информацинно-аналитическая система сбора и обработки данных об аварийности» в виде «черного ящика» (рисунок 5.2).

 

 

  «Информацинно-аналитическая система сбора и обработки данных об аварийности»

X1

x2

у

x3

x4

Предыдущая статья:ЗАКЛЮЧЕНИЕ, В основе этой публикации лежит книга шейха Джамала Мади "Рай и ад.. Следующая статья:Априорное ранжирование факторов (психологический эксперимент)
page speed (0.0189 sec, direct)