Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Математика

Примеры разностных аппроксимаций.  Просмотрен 20

Разностные аппроксимации

Различные способы приближенной замены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались ранее. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек

wh={xi=ih, i=0, ±1, ±2,…}.

Пусть u(x) – достаточно гладкая функция, заданная на отрезке [xi-1, xi+1]. Обозначим

 

Разностные отношения

 

 

называются соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке xi , т.е. при фиксированном xiи при h®0 (тем самым при i®¥) пределом этих отношений является u’(xi). Проводя разложение по формуле Тейлора, получим

 

ux,i – u’(xi) = 0,5hu’’(xi) + O(h2),

ux,i – u’(xi) = -0,5hu’’(xi) + O(h2),

ux,i – u’(xi) = O(h2),

Отсюда видно, что левая и правая разностные производные аппроксимируют u’(x) с первым порядком по h, а центральная разностная производная – со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная

аппроксимирует u’’(xi) со вторым порядком по h, причем справедливо разложение

Рассмотрим дифференциальное выражение

 

(1)

 

 

с переменным коэффициентом k(x).

Заменим выражение (1) разностным отношением

 

(2)

 

 

где a=a(x) – функция, определенная на сетке wh. Найдем условия, которым должна удовлетворять функция a(x) для того, чтобы отношение (aux)x,i аппроксимировало (ku’)’ в точке xi со вторым порядком по h. Подставляя в (2) разложения


где ui’ = u’(xi), получим

 

С другой стороны, Lu = (ku’)’ = ku’’ + k’u’,


т.е.

 

Отсюда видно, что Lhu–Lu = O(h2), если выполнены условия

 

(3)

 

 

Условия (3) называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации. При их выводе предполагалось, что функция u(x) имеет непрерывную четвертую производную и k(x) – дифференцируемая функция. Нетрудно показать, что условиям (3) удовлетворяют, например, следующие функции:

Заметим, что если положить ai = k(xi), то получим только первый порядок аппроксимации.

В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппроксимацию оператора Лапласа

 

(4)

 

 

Введем на плоскости (x1, x2) прямоугольную сетку с шагом h1 по направлению x1 и с шагом h2 по направлению x2, т.е. множество точек

 

wh = {(xi1, xj2) | xi1 = ih1, xj2 = jh2; i, j = 0, ±1, ±2,…},

 

и обозначим

Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выражение

 

(5)

 

 

аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком, т.е. Lhuij – Lu(xi1, xj2) = O(h21) + O(h22). Более того, для функций u(x1, x2), обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо разложение

 

 

 

Разностное выражение (5) называется пятиточечным разностным оператором Лапласа, так как оно содержит значения функции u(x1, x2) в пяти точках сетки, а именно в точках (x1i, x2j), (x1i±1, x2j), (x1i, x2 j±1). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора. Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шаблонах, содержащих большее число точек.

 

 

Предыдущая статья:Bungee Jumping Essay, Research Paper Следующая статья:Исследование аппроксимации и сходимости
page speed (0.0505 sec, direct)