Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Механика

Механика сплошной среды  Просмотрен 147

1. ЛАГРАНЖЕВО И ЭЙЛЕРОВО ОПИСАНЕ ДВИЖЕНИЯ

При изучении движения сплошной среды можно использовать два подхода: один из них называют лагранжевым, другой – эйлеровым.

При лагранжевом подходе интересуются тем, что происходит с индивидуальными точками (частицами) сплошной среды. При движении среды ее характеристики для разных индивидуальных частиц меняются со временем по-разному. Чтобы отличить одну индивидуальную частицу от другой, надо на них “поставить метки”. Это можно сделать, например, если присвоить каждой частице свой набор из трех чисел, который играет роль “имени”. Эти числа называют лагранжевыми координатами и часто обозначают буквами x1, x2, x3. Лагранжевы координаты индивидуальной точки не меняются в процессе движения.

При лагранжевом описании все величины рассматриваются как функции лагранжевых координат (x1, x2, x3) и времени t. В качестве x1, x2, x3 часто используют – значения координат точек пространства, в которых рассматриваемые индивидуальные частицы находились в начальный момент времени.

Законом движения называются функции, описывающие зависимость пространственных координат индивидуальных точек от времени t. Закон движения записывается в виде:

Компоненты скорости и ускорения частиц сплошной среды в декартовой системе координат при лагранжевом описании вычисляются по формулам:

где для краткости использовано обозначение x = (x1, x2, x3).

При эйлеровом подходе интересуются тем, что происходит в точках пространства, через которые движется среда. Величины, характеризующие движение сплошной среды, рассматриваются при эйлеровом подходе как функции пространственных координат и времени t. Например, величина – это скорость частицы сплошной среды, которая в момент времени t находится в точке пространства с координатами .

Ускорение , по определению, есть скорость изменения скорости индивидуальной частицы среды. Поэтому вычисляется как индивидуальная производная по времени. При эйлеровом описании формула для ускорения имеет вид

.

Лагранжево и эйлерово описания среды эквивалентны: если все интересующие величины заданы в рамках одного из них, то можно найти описание в рамках другого подхода.

Траекторией частицы называется линия, по которой движется частица.

Установившимся, или стационарным, называется движение, при котором в каждой точке пространства, занятого средой, все ее характеристики не меняются со временем, т.е. , где А – любая характеристика движения.

 

Задача 1 с решением. Подставить в решение значение q = 2.

Закон движения среды имеет вид

а) Проверьте, что числа (x1, x2, x3) для индивидуальной частицы представляют собой координаты точки пространства в момент времени t=0.

б) Найдите поля скорости и ускорения в лагранжевом описании.

в) Нарисуйте траектории частиц.

г) Является ли это движение установившимся?

 

Предыдущая статья:Фото народных тряпичных кукол музейных образцов, Приложение 4 Следующая статья:Найдем координаты точки
page speed (0.2584 sec, direct)