Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Материаловедение

Дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса  Просмотрен 101

Лекция №19

Тема: «Перемещения при изгибе»

Вопросы:

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Условие жесткости при изгибе

Метод начальных параметров для определения перемещений

Теорема о взаимности работ и взаимности перемещений

Дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса

В результате изгиба балки ось становится криволинейной (см. рис. 1), центры поперечных сечений перемещаются от первоначальной прямой линии и поворачиваются на какой-то угол j (рис. 1). За прогиб принимают перемещение центра сечения перпендикулярно первоначальной оси. Для сечения К прогиб составит отрезок КК1.

Для определения перемещений сечений балки пользуются дифферинциальным уравнением изогнутой оси балки:

(1)

где Е - модуль продольной упругости,

I - осевой момент инерции сечения,

- вторая производная от прогиба,

М - изгибающий момент.

В точке K1 проведем касательную к изогнутой оси балки, которая образует с осью Z угол j, так как линии, образующие углы перпендикулярны. Из высшей математики известно, что первая производная от функции равна тангенсу угла наклона касательной, т.е.

.

Для малых значений угла справедливо равенство: tgj j.

Следовательно, первая производная от прогиба представляет собой угол поворота сечения.

 

Рис. 1

Проинтегрируем уравнение (11.1):

(2)

(3)

где С и Д - постоянные интегрирования. Их находят из граничных условий. Для заданной балки при z=0; j=0; =0. Подставив эти значения, находят С и Д.

По уравнению (3) можно найти максимальный прогиб , называемый стрелой прогиба f. Во избежании появления чрезмерных перемещений наибольший относительный прогиб f/l не должен превышать предельного значения fи/l, устанавливаемого строительными нормами.

f/l£ fи/l (4)

l - длина балки.

Это условие жесткости при изгибе. Расчет на жесткость производят по нормативной нагрузке, т.е. без учета возможной перенагрузки. Объясняется это тем, что конструкция должна обладать необходимой жесткостью в течение длительной эксплуатации, а не в критические моменты.

 

Предыдущая статья:Математические модели обучаемости Следующая статья:Метод начальных параметров для определения перемещений
page speed (0.0113 sec, direct)