Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Материаловедение

Касательные напряжения при изгибе  Просмотрен 141

Лекция №18

Тема: «Изгиб»

Вопросы:

Касательные напряжения при поперечном изгибе

Центр изгиба

Главные напряжения при изгибе. Линии главных площадок

 

Касательные напряжения при изгибе

При поперечном изгибе помимо изгибающего момента М в сечении возникает поперечная сила Q, которая вызывает касательные напряжения. Для их определения рассмотрим верхнюю часть отрезка балки (см. рис. 1), длиной dz: от линии m-n.

Рис. 1

В левом сечении будут возникать нормальные напряжения:

в правом:

.

В сечении m-n будут возникать касательные напряжения. Для определения их величины рассмотрим условие статического равновесия кусочка балки относительно оси Z.

или

.

Разность значений моментов на бесконечно близком расстоянии один от другого представляет собой дифференциал момента dM, а - статический момент заштрихованной части сечения, образуемой верхней частью сечения до линии m-n (отсеченной частью сечения) относительно оси X.

где - площадь заштрихованной части сечения.

Тогда:

или

.

Первая производная от момента по Z равна поперечной силе Q, поэтому получим окончательную формулу:

. (1)

Согласно закону парности касательных напряжений, касательные напряжения в поперечных сечениях по линии m-n будут равны касательным напряжениям в продольном сечении, определяемым по формуле (1). Из формулы видно, что касательные напряжения прямо пропорциональны . Определим характер изменения касательных напряжений по высоте сечения для прямоугольного профиля. Пусть рассматриваемая точка В лежит на расстоянии Y от оси X. Через точку В проводим прямую, параллельную оси X (см. рис.

1). Эта прямая рассекает сечение на мне части, статические моменты которых относительно оси X равны, так что безразлично какую часть сечения рассматривать.

Рис. 2

Будем рассматривать верхнюю (заштрихованную) часть. Статический момент любой фигуры равен произведению площади на координату центра тяжести.

,

где =

.

В результате получим:

,

т.е. изменяется по закону параболы, так как Y во второй степени. Поскольку между t и прямая пропорциональность, то и эпюра t будет изменяться по высоте по закону квадратичной параболы. При ; =0 и t=0. Наибольшее значение будет при y=0, поэтому наибольшие касательные напряжения будут возникать на нейтральной линии.

У двутаврового сечения характер распределения касательных напряжений будет следующий (см. рис. 3). Резкий скачок на эпюре t в месте перехода полки к стенке вызван резким уменьшением ширины сечения b, входящей в знаменатель формулы (1). Касательные напряжения, возникающие в полках незначительны по сравнению с возникающими в стенке, и ими обычно игнорируют. Поэтому эпюру t изображают без этих участков (показано справа).

Рис.

3

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в нейтральном слое, сравнивают с расчетным сопротивлением на срез Rs:

.

 

Центр изгиба

Для балок целесообразно применять тонкостенные профили с развитыми горизонтальными полками и тонкой стенкой. Такие профили обычно изготавливают прокаткой или гибкой из листовой заготовки. При этом особенно технологичны профили с одной осью симметрии, например, швеллер (см. рис. 4, а).

При поперечном изгибе в стенке возникнут касательный напряжения , определяемые но формуле (1), и эпюра представляет параболу. В полках тоже будут возникать касательные напряжения. Их можно определить таким же путем, делая вертикальные разрезы полки. Эпюра касательных напряжений представляет треугольник. Касательные напряжения в верхней и нижней полках направлены в разные стороны и будут создавать момент, подвергающий сечение скручиванию (см. рис. 4, б). Его можно исключить, если внешнюю силу приложить в точке С. Из условия равенства моментов, определим расстояние а, на котором нужно приложить внешнюю силу:

,

где Т - усилие, возникающее в полках от напряжения ,

t - толщина полки,

h - высота профиля.

. (2)

 

Рис. 4

Предыдущая статья:Психология деятельности в экстремальных условиях Следующая статья:Главные напряжения при изгибе
page speed (0.0117 sec, direct)