Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Материаловедение

Понятие о деформации изгиба  Просмотрен 99

Лекция №16

Тема: «Изгиб»

Вопросы:

Понятие о деформации изгиба

Нормальные напряжения при чистом изгибе

Расчет балок на прочность по нормальным напряжениям

Понятие о деформации изгиба

Искривление оси бруса под действием внешней нагрузки называется изгибом. При изгибе в поперечном сечении возникают изгибающие моменты М, т.е. моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости сечения. Если изгибающие моменты являются единственным внутренним усилием, то изгиб называют чистым. Однако в большинстве случаев в сечениях бруса помимо изгибающего момента М возникают и поперечные силы Q. Такой изгиб называют поперечным.

Изгиб может быть прямым (плоским) или косым. Прямой изгиб происходит, если плоскость изгибающего момента проходит через одну из главных осей, косой изгиб - если не проходит.

Нормальные напряжения при чистом изгибе

Если на стержень нанести продольные и поперечные линии и подвергнуть его чистому изгибу, то продольные линии изогнутся по дугам окружностей, а поперечные линии 1-1 и 2-2 останутся прямыми, повернувшись на какой-то угол (см. рис. 1).

Рис. 1

В результате линия ab удлинится, а lf - укоротится, следовательно верхние волокна стержня испытывают растяжение, а нижние - сжатие.

Линия cd, совпадающая с осью стержня сохранит прежнюю длину, т.е. не растягивается и не сжимается. Слой материала, лежащий на линии cd называют нейтральным слоем.

Из точки d проведем линию, параллельно линии 1-1. Образуемый ее угол с линией 2-2 будет . Линия ab удлинилась на дугу , длину которой можно определить по формуле:

.

Относительная деформация линии ab будет равна:

,

но .

 

В результате получим:

.

Согласно закона Гука:

,

поэтому:

или (1)

Рис. 2

Рассмотрим поперечное сечение стержня (рис. 2). В нем будет возникать только одно внутреннее усилие - изгибающий момент М, равный внешнему моменту m.

M= m

Установим положение нейтрального слоя, от которого отмеряется расстояние Y. Для этого воспользуемся тем. что равнодействующая элементарных нормальных сил sdA при чистом изгибе должна быть равна нулю:

или подставив формулу (1), получим:

Так как множитель величина постоянная, то его можно вынести за знак интеграла и сократить, получим:

Полученный интеграл представляет собой статический момент сечения Sx.

Поскольку он равен нулю, то ось X проходит через центр тяжести сечения.

“При чистом изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения”.

Элементарные силы, возникающие на элементарных площадках dA, будут вызывать элементарные моменты . Сумма элементарных моментов в сечении должна составить изгибающий момент М.

.

Интеграл, входящий в это выражение представляет собой момент инерции сечения относительно оси X (см. формулу (4), лекция 12):

;

поэтому:

;

откуда находим кривизну нейтрального слоя:

(2)

Подставляя это выражение в формулу (1), окончательно получим:

(3)

Рис. 3

Из формулы видно, что напряжение прямо пропорционально расстоянию от нейтрального слоя Y. Для точек, находящихся на нейтральном слое, y=0 и x=0. Наибольшие напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя.

Максимальные напряжения будут равны:

;

(4)

;

где и - соответственно высота сжатой и растянутой зоны.

Эпюра напряжений будет иметь вид, показанный на рис. 3.

Если = = , то:

,

Обозначив , (5)

называемый осевым моментом сопротивления, получим:

(6)

Формула (3) и полученная из нее (6), выведенные при чистом изгибе, применимы и при поперечном изгибе.

Возьмем сумму элементарных моментов относительно оси Y (см. рис. 2). Он должен быть равен нулю, так как стержень относительно оси Y не изгибается.

.

Интеграл представляет собой центробежный момент инерции и он равен нулю. Мы отмечали, что если =0, то ось главная. Следовательно, при плоском изгибе нейтральная ось является центральной и главной.

 

Предыдущая статья:Проблема надежности человека в деятельности Следующая статья:Расчет балок на прочность по нормальным напряжениям
page speed (0.0131 sec, direct)