Статические моменты сечения
89
Лекция №13
Тема: «Геометрические характеристики сечения»
Вопросы:
Статические моменты сечения
Моменты инерции сечения
Моменты инерции прямоугольника, круга и кольца
Изменение моментов инерции с поворотом осей. Главные оси и главные моменты инерции
Статические моменты сечения
Статическим моментом сечения относительно оси X (см. рис. 1) называется выражение:
(1)
и относительно оси Y:
(2)
Рис. 1
Статический момент имеет размерность см3 или м3, может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Если статический момент ранен нулю, то ось проходит через центр тяжести сечения и называется центральной осью. Поэтому оси симметрии фигур вceгда являются центральными.
Определим как изменяется статический момент фигуры с параллельным переносом оси. Пусть ось Хо является центральной (см. рис. 2), а ось X смещена на расстояние а. Из рисунка видно, что: 
.
Рис. 2
Статический момент фигуры относительно оси X равен:
.
Интеграл 
представляет собой статический момент относительно оси Хо, т.е. центральной оси. Мы уже отмечали, что статические моменты относительно центральных осей равны нулю.
;
В результате получим:
или
.
Если заменить 
– ординату центра тяжести фигуры, то получим:
и 
(2)
По формулам (2) можно определить координаты центра тяжести фигуры. Если фигура имеет сложные очертания, то ее разбивают на несколько простых (прямоугольники, треугольники, секторы, сегменты и т.д.) и статический момент находят как сумму статических моментов простых фигур. Статический момент простых фигур определяют, преобразовав формулу (2):
и 
(3)
Пример: Определить центр тяжести фигуры (рис. 3). Размеры даны в см.
Рис.3
Решение: Разбиваем фигуру на два прямоугольника (на рисунке пронумерованы 1 и 2). Оси X и Y проводим чeрез центр тяжести одной из фигур (прямоугольника 1), что значительно облегчает подсчеты, так как:
.
По формуле (3) находим:
,
.
Общая площадь фигуры равна:
.
Координаты центра тяжести определим по формуле (2):
;
.
Проверка: Если фигура вычерчена в масштабе, то центр тяжести находится па прямой, соединяющей центры тяжести простых фигур.