Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

Краткий обзор систем обучения  Просмотрен 451

В методических публикациях последнего двадцатилетия часто встречаются слова «традиционная система», «альтернативная сис­тема» обучения. Эти названия легко понимаются педагогами, работавшими в школе в 1980—1990 гг., но они не всегда понятны сегодняшним студентам и молодым учителям. Поясним происхо­ждение и смысл этих названий.

В Советском Союзе была принята жесткая цензура школьных учебников. Учителям разрешалось работать только по тем учебни­кам, которые были утверждены и рекомендованы Министерством образования. По каждому предмету для начальной школы Мини­стерством образования утверждался только один учебник. В 1968 г. был объявлен конкурс на написание учебника по математике для начальной школы. Из всех предложенных учебников был выбран и утвержден в качестве единого учебник, написанный авторским коллективом под руководством М.А. Байтовой и М.И. Моро. Этот учебник, в дальнейшем незначительно перерабатываясь, выдержал более 20 изданий, его стали называть традиционным. Долгие годы он был единственным для обучения математике в начальной школе. Подобная политика позволяла создать единое образовательное пространство на всей территории бывшего Советского Союза, учились по одному и тому же учебнику и по единому учебному плану. С одной стороны, это было удобно, поскольку не возникало проблем в связи с переездами и сменой школы. Но, с другой сторо­ны, эта система приводила к жесткой унификации образователь­ного процесса, при которой учитель был ориентирован главным образом на достижение каждым ребенком определенного уровня учебных норм и требований. Сегодня эту ориентацию называют «знаниевой парадигмой».

После развала Советского Союза стали публиковаться учебни­ки других авторов, эти учебники стали называть «альтернативны­ми». Некоторые из них были написаны еще в 70-е годы XX в. (учеб­ники системы Л.В. Занкова, системы В.В. Давыдова и др.), другие изданы в 90-е годы (учебники Н.Я. Виленкина и Л.Г. Петерсон, учебники Н.Б. Истоминой и др.).

А.М. Пышкало[3] отмечает, что традиционный курс математики для начальных классов характеризуется определенной последова­тельностью изучаемых базисных понятий:

Число —» Величина

Основное внимание в нем сосредоточено на выработке навы­ков устных и письменных вычислений и на их применении к ре­шению текстовых задач.

Та же последовательность изучаемых понятий характерна и для ряда альтернативных курсов (учебники системы Л.В. Занкова, учеб­ники П.М. Эрдниева, Н.Б. Истоминой и др. авторов). Однако основ­ная направленность методики обучения математики в этих системах другая: ее цель — интеллектуальное развитие ребенка. Как отмечает Н.Б. Истомина[4], несмотря на то, что в принципе любое обучение раз­вивает ребенка, но при сравнении различных систем обучения очевид­но, что в одних системах обучение как бы надстраивается над разви­тием (по словам Л.С. Выготского, «плетется в хвосте развития», ока­зывая на него стихийное влияние), а в других — целенаправленно обеспечивает его, «ведет за собой развитие» и активно использует его для усвоения новых понятий, знаний и умений. В первом случае мы имеем приоритет информационной функции обучения, его нацелен­ность на «отработку» знаний, умений и навыков, во втором — при­оритет развивающей функции обучения, и это кардинально меняет построение процесса обучения.

В 70-е годы XX в. альтернативными назывались системы, в кото­рых был принят другой порядок изучения математических понятий:

в системе В.В. Давыдова: величина —> отношение —> число

в учебниках К.И. Нешкова, А.М. Пышкало, В.Н. Рудницкой: множество -> отношение —> число -> величина

Сегодня альтернативным называют любой новый учебник по отношению к традиционному. Иногда в литературе можно встре­тить утверждение, что традиционным учебник Байтовой и Моро назван потому, что он не имеет развивающей направленности. Однако с методических позиций очевидно, что развивающая на­правленность урока более зависит от методики работы учителя и способов организации деятельности ребенка с содержанием учеб­ника, чем от самого содержания. Многолетний опыт апробации различных альтернативных учебников показал, что для получения развивающего эффекта недостаточно просто использовать в рабо­те учителя новый учебник. Необходимо владеть методикой мате­матического развития ребенка, чтобы реализовать развивающую функцию математического содержания учебника.

На сегодняшний день процесс написания новых вариантов учеб­ников математики для начальной и основной школы продолжает­ся, и, видимо, будет продолжаться, что является естественным мето­дическим поиском и говорит о развитии методической науки. Для учителя важно научиться анализировать появляющиеся варианты учебников, понимать их содержательные и методические отличия, их соответствие обязательному минимуму образования. Проведе­ние такого предварительного анализа необходимо для прогнози­рования результатов обучения и хода обучающего процесса.

 

Содержание обязательного минимума образования по математике в начальной школе

На сегодняшний день по заданию Национального фонда подго­товки кадров разработан проект «Требований к уровню подготовки выпускников» и «Обязательного минимума содержания образова­тельных программ» начального, основного и полного среднего обра­зования. Эти документы являются основой создания государствен­ных образовательных стандартов общего среднего образования.

«Требования к уровню подготовки выпускников» являются ос­новным элементом образовательных стандартов. Они устанавли­вают уровень подготовки выпускников, реально достижимый, по мнению авторского коллектива, в практике массового обучения и обеспечивающий права и возможности обучающихся на по­лучение полноценного и качественного общего образования.

«Обязательный минимум содержания образовательных прог­рамм» задает перечень дидактических единиц содержания образо­вания, которые подлежат обязательному изучению в начальной, основной и полной средней школе.

В документе отмечается, что «при отборе содержания образо­вания авторы проекта прежде всего следовали традиции, повинуясь императивному лозунгу "не навреди!". Тем не менее содержание обучения в проекте было подвергнуто определенной модернизации, отвечающей стратегическим направлениям развития отечествен­ной системы образования».

«Главным направлением модернизации стало восстановление педагогически и психологически обоснованной структуры содер­жания образования, позволяющей преодолеть узко «знаниевую» парадигму, реализуемую в сегодняшней школе. С этой целью осу­ществлена достаточно серьезная разгрузка обязательного содержа­ния путем исключения вопросов, не имеющих общеобразователь­ного значения, и переноса сложного технического материала в про­фильное обучение. Тем самым создаются условия для повышения качества образования за счет высвобождения учебного времени для отработки учебных и практических умений, освоения опыта эмо­циональной и творческой деятельности»[5].

Отметим, что ни сам документ, ни сопутствующие ему публи­кации не содержат конкретной ссылки или представления упомя­нутой педагогической и психологической теории обоснования струк­туры содержания образования. Таким образом, представленное в основном государственном документе обоснование построения структуры содержания образования, носит действительно чисто императивный характер на уровне «здравого смысла».

Общеизве­стно, что никакой единой теории обоснования структуры содержа­ния ни в педагогической, ни в психологической науке на сегодня не существует. Можно сказать, что «принципиальная особенность и трудность педагогической практики, которая существовала все­гда и остается в силе до сегодняшнего дня, состоит в том, что объ­ективные законы психического развития, на которые она могла бы опереться, до сих пор еще не известны. Педагогическая практика все еще в основном базируется, как медицина античности и средних веков, на интуитивных прозрениях, искусстве и эмпирическом опы­те ее выдающихся представителей»[6]. Там же далее отмечается, что «пока знаний было не так много, можно было как-то выходить из положения за счет эмпирического нащупывания лучших способов их подачи или просто за счет увеличения времени, которое идет на усвоение». Именно это в свое время привело к очередной замене трехлетнего начального образования на четырехлетнее в начале 1990-х годов. «Но когда объем знаний возрастает, оба эти источни­ка все больше теряют свою значимость»[7]. Поэтому, несмотря на сохранение четырехлетнего срока обучения в начальной школе, ав­торы рассматриваемого проекта вынуждены были пойти по пути «разгрузки обязательного содержания», что особенно сказалось на содержании математического образования.

В цитируемой монографии доктора психологических наук, про­фессора РАО Н.И. Чуприковой в связи с этим резюмируется не­обходимость и крайняя значимость разработки именно психологических теорий обоснования как структуры содержания, так и технологий обучения для различных возрастных категорий обучаемых. В рассматриваемом же документе ссылка на эту несу­ществующую теорию является главным обоснованием (наряду с признанием в следовании традициям) построения структуры и перечня дидактических единиц содержания образования. Приводим содержание документа:

МАТЕМАТИКА

Требования к уровню подготовки выпускников

Изучение математики должно предоставить учащимся возможность:

ф получить представление о натуральном числе и нуле, понять особенности натурального ряда чисел, научиться записывать и прочитывать натураль­ные числа в десятичной системе счисления;

ф научиться выполнять устно и письменно вычисления с натуральными чис­лами (в пределах миллиона): сложение, вычитание, умножение, деление, деление с остатком;

ф получить представление о свойствах операций над натуральными числа­ми, взаимосвязи между операциями; научиться находить неизвестный ком­понент арифметического действия;

ф усвоить смысл отношений «больше на», «меньше на», «больше в», «меньше в» и их связь с арифметическими действиями; изображать на схемах отно­шения и использовать их при решении текстовых задач;

ф усвоить правила порядка выполнения действий в числовых выражениях, научиться записывать решение текстовой задачи в виде выражения и по действиям; научиться составлять простые описания последовательности (алгоритм) действий;

ф осознать геометрические формы как образы предметов окружающего ми­ра; познакомиться с плоскими геометрическими фигурами (точка, прямая и кривая линии, отрезок, угол, многоугольник, окружность, круг), простей­шими пространственными фигурами (куб, шар) и некоторыми их свойст­вами; научиться изображать геометрические фигуры на клетчатой бумаге;

ф получить представление о величинах (длине, площади, массе, времени) и их измерении; усвоить единицы величин и соотношения между ними; научиться складывать и вычитать величины, умножать и делить величину на число;

ф приобрести опыт измерения и вычисления длин отрезков и периметров мно­гоугольников, научиться строить отрезок заданной длины, вычислять пло­щадь прямоугольника;

4* получить представление о зависимостях между величинами, характеризую­щими процессы движения, работы, «купли-продажи» и др.; научиться решать несложные текстовые задачи, используя знания об этих зависимостях;

4» получить представление о высказывании, научиться строить логические рас­суждения, выполнять мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение, классификацию и др.).

Обязательный минимум содержания образования

Счет. Единицы счета. Натуральные числа от 1 до 1 000 000. Число и цифра нуль. Запись и названия чисел. Сравнение чисел. Знаки = >, <

Сложение чисел: слагаемые, сумма, знак сложения. Таблица сложения. Вычитание чисел: уменьшаемое, вычитаемое, разность, знак вычитания. Связь вычитания со сложением. Умножение чисел: множители, произведение, знак умножения. Таблица умножения. Деление чисел: делимое, делитель, частное, знаки деления. Связь деления с умножением. Действия с нулем.

Порядок выполнения действий в числовых выражениях. Скобки.

Перестановка слагаемых в сумме. Группировка множителей в произведе­нии. Умножение суммы на число. Умножение числа на сумму.

Устные и письменные вычисления с натуральными числами.

Нахождение неизвестного компонента арифметических действий.

Точка. Линии: прямые, кривые. Отрезок. Угол. Прямой угол. Многоуголь­ники: треугольник, прямоугольник, квадрат. Вершины и стороны многоуголь­ника. Окружность и круг. Куб. Шар.

Измерение длин. Метр, сантиметр, миллиметр, километр.

Измерение площади. Квадратный сантиметр, квадратный метр. Вычисле­ние площади прямоугольника.

Измерение времени. Секунда. Минута. Час. Сутки. Неделя. Месяц. Год. Век.

Измерение массы. Грамм, килограмм, тонна. Литр.

Решение текстовых задач с использованием отношений «больше на», «мень­ше на», «больше в», «меньше в» и зависимостей между величинами.

Анализ текста цитируемого документа показывает действитель­ное значительное сокращение привычного даже для традиционных учебников математики для начальных классов содержания. Напри­мер, даже не упоминаются темы «Уравнения» и «Дроби». Посколь­ку данный перечень будет являться основой для разработки го­сударственных стандартов, это означает, что задания, связанные с решением уравнений, нахождением долей и дробей чисел и ве­личин, могут считаться лишь дополнительными при составлении контрольных срезов знаний. Упомянуты лишь несложные тексто­вые задачи, что можно трактовать как то, что в обязательный ми­нимум входят лишь простые задачи.

Любой из существующих ныне учебников математики для начальной школы, содержит намного более длинный перечень ди­дактических единиц по математике. Однако в случае принятия дан­ного проекта в качестве действующей нормы, это даст возможность учителю опускать значительную часть материала учебников или давать ее как необязательную.

В случае принятия этого документа в качестве нормативного возникает проблема очередной разработки новых учебников по ма­тематике для 5—6 классов, поскольку сегодняшние учебники (включая написанные за последнее пятилетие) рассчитаны на значительно больший объем знаний выпускников начальной шко­лы, чем это оговорено рассматриваемым документом.

Рассмотрим распределение программного материала по годам обучения в пяти системах обучения для начальных классов, рекомен­дованных Министерством образования и науки РФ для обучения в 12-летней школе (четыре года обучения в начальной школе).

Распределение программного материала по математике в системе Л. В. Занкова

В системе Л.В. Занкова для четырехлетней системы обучения использовались учебники И.И. Аргинской для трехлетней школы. Учитель самостоятельно распределял материал на более длитель­ный срок обучения детей. Дополнительно к этим учебникам имеют­ся тетради на печатной основе авторов Е.П.

Бененсон и Л.С. Итиной.

Для четырехлетней начальной школы на сегодня существует комплект «учебник—тетрадь» для 1 класса вместо учебника — четыре тетради на печатной основе тех же авторов. Для 2 и 3 клас­сов — учебник авторов И.И. Аргинской, Е.И. Ивановской и для 4 класса разрабатывается учебник этих же авторов (Самара, 2001).

Приведем ориентировочное программное распределение тем в этих пособиях, составленное на основе анализа этих учебников, сборника «Программы для начальных классов 1—3 по системе Л.В. Занкова» (М., 1998) и статьи И.И. Аргинской «Математика в системе общего развития» (Начальная школа: плюс — минус. 2000, № 4).

/ класс

Сравнение множеств. Взаимно-однозначное соответствие элементов. Знаки Сравнения. Число как характеристика класса эквивалентных множеств. Число и цифра. Сравнение чисел.

Нумерация в пределах 100. Разрядный состав. Сложение и вычитание в пре­делах 10 и в пределах 20 (с переходом через десяток). Правила порядка выпол­нения действий в выражениях без скобок и со скобками. Переместительное и сочетательное свойства сложения.

Числовые равенства и неравенства. Верные и неверные равенства.

Уравнения (в том числе вида х + 3 - 12, 17 - х = 9). Правила взаимосвязи компонентов сложения и вычитания.

Точка. Отрезок. Прямая, ломаная, кривая. Замкнутые и незамкнутые кривые и ломаные. Луч. Углы (прямой, тупой, острый). Их буквенное обозначение.

Длина отрезка. Сумма и разность отрезков. Многоугольники: треугольник, пря­моугольник, квадрат, ромб. Треугольники равносторонние, разносторонние, равнобедренные.

Меры длины: сантиметр (см).

Знакомство с задачей в 1 классе не предполагается.

(Составлено по содержанию учебника-тет­ради — в4ч. Самара, 1999.)

2 класс

Нумерация в пределах 100. Сложение и вычитание в пределах 100. Умно­жение и деление. Таблицы умножения и деления в пределах 100. Особые случаи умножения и деления (с 0 и 1). Все случаи порядка выполнения действий (в выражениях без скобок с действиями одной и разных ступеней, со скобками и действиями всех видов). Уравнения с умножением и делением. Взаимосвязь компонентов действий умножения и деления. Деление с остатком.

Трехзначные числа.

Уравнения вида (а + Ь) + х = с + е и др. Неравенства вида а + х> b, х- а<b и т. п. Системы простых неравенств.

Длина отрезка. Длина ломаной. Многоугольники. Четырехугольники, пря­моугольники. Периметр многоугольника. Прямоугольные и равнобедренные треугольники. Ромб.

Объемные тела: призма, пирамида, конус, цилиндр, шар. Основание, ребро, грань, вершина многогранника.

Масса: килограмм (кг). Сложение и вычитание масс.

Емкость: литр (л).

Время и его единицы измерения: сутки, неделя, год. Час и минута. Часы. Календарь.

Меры длины: сантиметр (см), метр (м), дециметр (дм), миллиметр (мм).

Умножение и деление величин на натуральное число.

Знакомство с задачей. Простые и составные задачи на все действия.

3 класс

Нумерация в пределах 1000.

Вычисления в пределах 1000: сложение и вычитание трехзначных чисел.

Разряды и классы: многозначные числа.

Внетабличное умножение и деление. Умножение и деление многозначных чисел на однозначное число.

Выражения с большим количеством действий и скобок. Неравенства вида х - 4 > 6, х: 2 < 10 и т. п. Системы простых неравенств.

Римская нумерация.

Уравнения (в том числе вида (31 + х) - 18 - 23).

Дроби: сравнение дробей, сложение и вычитание дробей с одинаковыми зна­менателями. Приведение к общему знаменателю. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби. Смешанные числа. Неправильные дроби.

Числовой луч. Координаты точки на числовом луче. Координаты целых и дробных чисел.

Углы и их градусная мера. Сложение и вычитание углов. Окружность, дуга и радиус окружности. Свойство диаметра.

Изображения объемных тел на плоскости. Проекции объемных тел. Раз­вертки многогранников. Проекции многогранников.

Площадь прямоугольника. Меры площади: см2, мм2, км2, дм2, м2. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Длина: километр (км), миллиметр (мм). Масштаб.

Масса: тонна (т), центнер (ц).

Простые и составные задачи на все действия.

4 класс

Нумерация многозначных чисел: разряды и классы. Действия с много­значными числами. Выражения с большим количеством действий и скобок.

Класс миллионов.

Точные и приближенные числа. Правило округления. Погрешность изме­рений.

Дроби: основное свойство дроби. Сложение и вычитание дробей с одинако­выми и разными знаменателями. Умножение и деление дроби на натуральное число.

Положительные и отрицательные числа: запись, изображение на числовой прямой, сравнение. Координаты точки на числовой прямой.

Действия с именованными числами, содержащие несколько действий (3— 6 действий).

Уравнения и неравенства разной степени трудности (в том числе с дробя­ми, содержащих неизвестное в обеих частях и др.).

Степень: возведение в степень, основание степени, показатель степени. Таб­лицы степеней некоторых чисел.

Диагонали многоугольника. Свойство диагоналей прямоугольника. Клас­сификации треугольников (по углам, по сторонам). Площадь прямоугольного треугольника. Площадь многоугольника. Площадь поверхности прямой приз­мы и пирамиды.

Объемные тела: проекции, развертки, изображения на плоскости. Объем параллелепипеда.

Меры объема: мм3, см3, км3, дм3. Объем произвольной прямой призмы.

Составные задачи всех видов. Алгебраический способ решения задач (со­ставление уравнения).

Составлено по содержанию учебников авто­ров ИМ. Аргинской, ЕМ. Ивановской (Сама­ра, 2001).

Распределение программного материала по математике в системе В. В. Давыдова

В системе В. В. Давыдова существует несколько вариантов учебников математики для начальных классов различных авторских коллективов: учебники А.М. Захаровой, Т.И. Фещенко; учебники В.В. Давыдова, С.Ф. Горбова, Г.Г. Микулиной, О.В. Савельевой.

Все эти комплекты учебников были разработаны для системы 1—3, в настоящее время идет работа по реорганизации этих учеб­ников для системы 1—4. Наиболее распространен на сегодня учеб­ник Э.И. Александровой, он включен в Федеральный перечень учебников для начальной школы.

Приведем программное распределение тем в пособиях Э.И. Алек­сандровой, составленное на основе анализа учебников, сборника «Программы для начальной общеобразовательной школы. Система Д.Б. Эльконина — В.В. Давыдова» (М., 2001) и статьи Э.И. Алексан­дровой «Особенности нового курса математики в начальной школе» (Начальная школа: плюс — минус, 2000, № 4).

Класс

Сравнение предметов (по форме, цвету, материалу, длине, составу частей, массе, площади, объему. Периметр как длина «границы» любой плоской гео­метрической фигуры. Различия между прямой, лучом, отрезком. Ломаная.

Угол. Сравнение углов.

Сравнение величин. Буквенное обозначение величин. Знаки сравнения. Сравнение величин при помощи меры-посредника. Переход от действий с пред­метами к формулам и наоборот. Сложение и вычитание величин как переход от неравенства к равенству и наоборот. Знаки + и -. Текстовые задачи с бук­венными данными. Скобки в буквенных выражениях. Переместительное и сочетательное свойство сложения в буквенном виде. Выражения. Таблица сложения и вычитания однозначных чисел.

Различные меры при измерении одной величины. Стандартные меры ве­личин (длина, площадь, объем, масса, угловой градус). Время, скорость, стои­мость. Число как мера величины.

Римская нумерация.

Число как отношение величины к мере (функциональная зависимость).

Числовая прямая: начало отсчета, единичная мерка. Сравнение чисел на числовой прямой. Состав чисел первого десятка. Сравнение чисел. Решение примеров, уравнений и задач с заменой буквенных данных на числовые (в пре­делах 20). Связь между компонентами сложения и вычитания. Порядок дейст­вий в выражениях. Уравнения вида:

а + х= b, а-х= b, Ь~х= а.

Класс

Простые и составные мерки. Меточная форма числа. Числовая прямая. Чис­ловые шкалы.

Сложение и вычитание чисел с помощью числовых шкал. Решение раз­личных задач с заменой числовых данных на буквенные, порядок действий. Сложение и вычитание с переходом через десяток.

Многозначные числа. Разряд и класс. Позиционные системы счисления. Чтение и запись чисел в различных системах счисления.

Разрядный состав многозначных чисел. Изображение многозначных чисел на числовой прямой. Сравнение многозначных чисел. Действия с многозначны­ми числами (кроме деления). Решение текстовых задач с многозначными чис­лами.

Класс

Умножение и деление. Компоненты умножения и деления и их взаимосвязь. Переместительное, сочетательное и распределительное свойство умножения. Таблица умножения и деления. Умножение на 0 и 1.

Многозначные числа: разряды и классы. Все действия с многозначными чис­лами. Умножение и деление на 10, 100, 1000. Деление с остатком. Признаки делимости. Вычисления с помощью свойств умножения и деления. Умноже­ние и деление многозначных чисел.

Текстовые задачи с многозначными числами. Уравнения на все действия с многозначными числами. Порядок действий.

Класс

Письменные алгоритмы вычислений с многозначными числами.

Микрокалькулятор. Проверка действий с различными числами с помощью микрокалькулятора.

Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями: сложение, вычита­ние, умножение на число, деление на число/

Решение и составление текстовых задач, уравнений и математических вы­ражений с десятичными дробями. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби. Проценты: запись в десятичных дробях. Нахождение процентов от числа и числа по его процентам. Оптовые и розничные цены, скидки, денежные вкла­ды под проценты. Решение задач с сюжетами, связанными с реалиями жизни.

Именованные числа. Меры длины, массы, объема, площади. Деньги.

Время: век, год, час, мин, с. Действия с именованными числами.

Меры измерения углов: градус, мин, с, радиан. Число п. Транспортир.

Периметры различных фигур и способы их вычисления: прямоугольник, треугольник, трапеция и др. Длина окружности.

Площади геометрических фигур: прямоугольник, прямоугольный треуголь­ник. Катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике. Площадь произволь­ного треугольника.

Нахождение площади любых геометрических фигур путем разбиения их на прямоугольники и треугольники. Площадь правильного n-угольника. Пло­щадь круга. Текстовые задачи на нахождение площади и периметра.

Объемы геометрических тел: см3, дм3. Формула объема прямого параллеле­пипеда.

Задачи всех видов: на движение, на «куплю-продажу», на производитель­ность и т. п. Алгебраический способ решения задач (уравнение).

Распределение программного материала по математике в системе «Гармония»

В системе «Гармония» авторами учебников по математике являют­ся Н.Б. Истомина, И.Б. Нефедова. Разработаны и выпущены учебники для 1—4 классов начальной школы с соответствующими тетрадями на печатной основе. Программное распределение тем по годам обучения приводим по сборнику «Гармония». Учебно-методический комплект дня четырехлетней начальной школы (Смоленск, 2001).

1 класс

Признаки предметов. Отношения. Число и цифра. Нумерация в пределах 100. Разрядный состав. Сложение и вычитание в пределах 10. Сложение и вычитание в пределах 100 вида: 89 — 7, 65 — 40 (без перехода через разряд). Компоненты сложения и вычитания, их взаимосвязь. Сравнение чисел: нера­венства. Переместительное свойство сложения.

Числовой луч как опора для нахождения значений выражений (сложение и вычитание).

Точка. Линия (прямая, кривая). Отрезок. Длина отрезка. Сложение и вычитание отрезков. Луч. Ломаная (замкнутая и незамкнутая).

Единицы длины: см, дм. Единицы массы: кг.

Знакомство с задачей в 1 классе программой не предусмотрено.

Класс

Задача. Простые и составные задачи на сложение и вычитание.

Угол (прямой, тупой, острый). Прямоугольник. Квадрат. Многоугольник. Окружность и круг.

Сложение и вычитание в пределах 20 с переходом через десяток.

Порядок действий. Скобки. Сочетательное свойство сложения. Сложение и вычитание в пределах 100 с переходом через разряд.

Нумерация в пределах 1000. Разрядный состав. Сложение и вычитание трех­значных чисел без перехода через разряд.

Умножение. Компоненты умножения и их взаимосвязь. Случаи умноже­ния с 0 и 1. Табличное умножение (только для случаев с числами 9 и 8). Пере­местительное свойство умножения.

Единицы времени: ч, мин, с,

Класс

Площадь фигуры. Единицы площади: квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр. Площадь и периметр прямоугольника.

Табличное умножение для всех оставшихся случаев. Умножение на 10. Сочетательное свойство умножения.

Деление. Компоненты деления и их взаимосвязь. Случаи деления с числа­ми 1 и 0.

Табличное деление. Умножение и деление на 10, 100,1000.

Правила порядка выполнения действий.

Внетабличное умножение и деление.

Многозначные числа: разряд и класс.

Письменное сложение и вычитание.

Масса: г и кг. Длина: км, м, дм, см. Время: ч, мин, с.

Симметричные фигуры. Куб: грани, вершины, ребра. Развертка куба.

Составные задачи, в том числе на прямую и обратную пропорциональность.

Класс

Письменное умножение и деление. Деление с остатком.

Действия с величинами: соотношение единиц, сложение и вычитание, ум­ножение и деление величины на число.

Задачи на зависимость между величинами: движение, «купля-продажа» и т. п.

Уравнения. Решение задач составлением уравнения.

Буквенные выражения и их значения.

Симметричные фигуры. Развертки геометрических тел.

Доли и дроби. Сравнение дробей. '

Распределение программного материала по математике в системе «Школа 2100»

В системе «Школа 2100» автором учебника математики явля­ется Л.Г. Петерсон. Разработан и выпущен учебно-методический комплект в виде «учебник—тетрадь» на печатной основе для 1—3 (1—4) классов начальной школы. Комплект представляет собой 12 тетрадей вида «учебник—тетрадь», которые могут быть распре­делены как на 3, так и на 4 года обучения. Программное распреде­ление тем по годам обучения приводим по сборнику «Школа 2000»: Концепция и программы непрерывных курсов для общеобразова­тельной школы (М., 1997).

Класс

Свойства предметов. Сложение и вычитание. Счет. Число и цифра. Однозначные и двузначные числа. Нумерация в пределах 100. Разрядный

состав.

Табличное сложение и вычитание (в пределах 10). Компоненты сложения и вычитания и их взаимосвязь. Сложение и вычитание в пределах 100 без перехода через разряд. Сложение и вычитание в пределах 20 с переходом через

десяток.

Точки и линии. Граница. Ломаная. Многоугольник.

Задача. Простые задачи на сложение и вычитание. Обратные задачи. Со­ставные задачи на сложение и вычитание.

Величины и их измерение (длина, масса, объем): см, дм, кг, л.

Уравнения. Решение уравнений вида 90 - х - 20,48 - х = 32 и т. п.

Класс

Письменное сложение и вычитание. Сложение и вычитание в пределах 100 с переходом через разряд. Сочетательное свойство сложения.

Нумерация в пределах 1000. Сложение и вычитание трехзначных чисел.

Прямая. Луч. Отрезок. Ломаная. Длина ломаной. Периметр. Плоскость. Угол. Прямой угол. Острый и тупой угол. Прямоугольник. Квадрат. Площадь фигуры. Единицы площади. Площадь прямоугольника. Окружность и круг.

Объем фигуры. Единицы объема. Объем прямоугольного параллелепипеда.

Умножение и деление. Случаи умножения и деления с 0 и 1. Таблицы умно­жения и деления. Взаимосвязь компонентов умножения и деления. Умножение и деление на 10 и 100. Внетабличное умножение и деление. Деление с остатком.

Числовые и буквенные выражения. Уравнения вида: ах=b,а:х=b,х:а = b.

Скобки. Порядок действий в выражениях без скобок и со скобками.

Составные задачи на все действия.

Класс

Множество и его элементы: число элементов, обозначение, знак принад­лежности, подмножество, пересечение и объединение множеств. » Многозначные числа: нумерация, сложение, вычитание.

Умножение и деление круглых чисел. Умножение и деление на однозначное число. Умножение на двузначное число. Умножение на трехзначное число.

Задачи на все действия. Задачи на движение, на «куплю-продажу», на ра­боту и производительность. Формулы прямой и обратной пропорциональности.

Симметрия фигур.

Меры времени. Календарь.

Переменная. Высказывание. Равенство и неравенство. Уравнение.

Класс

Множество решений неравенства. Строгие и нестрогие неравенства. Двой­ное неравенство.

Приближенные вычисления. Оценка суммы, разности, произведения, частного.

Деление на двузначное и трехзначное число.

Дроби. Сравнение дробей, нахождение числа по его дроби и дроби от числа. Проценты. Нахождение процентов от числа и числа по его процентам. Сложе­ние и вычитание дробей. Правильные и неправильные дроби. Смешанные чис­ла. Выделение целой части из неправильной дроби и запись смешанного числа в виде неправильной дроби. Сложение и вычитание смешанных чисел. Задачи на части, задачи на проценты.

Площадь прямоугольного треугольника. Единицы площади: ар, гектар.

Шкалы. Числовой луч. Координаты на луче. Расстояние между точками ко­ординатного луча. Координатный угол.

Действия над составными именованными числами.

Градусная мера углов. Развернутый угол. Смежные и вертикальные углы.

Круговые и столбчатые диаграммы. Графики движений.

Распределение программного материала по математике в системе «Начальная школа XXI века»

В системе «Начальная школа XXI века» авторами учебников математики являются Н.В. Рудницкая, Т.В. Юдачева. Разработа­ны и выпущены учебники для начальной школы 1—4 в сопровож­дении соответствующих тетрадей. Программное распределение тем по годам обучения приводим по сборнику «Программы четырех­летней начальной школы». Проект «Начальная школа XXI века» (М., 2001).

Класс

Свойства предметов. Сравнение предметов. Отношения между предмета­ми. Равночисленные множества предметов. Счет предметов. Число и цифра. Нумерация в пределах 20. Сложение и вычитание. Простые задачи на сложе­ние и вычитание. Составные задачи в два и более действий.

Переместительное и сочетательное свойство сложения. Таблица сложения и вычитания в пределах 10. Таблица сложения и вычитания однозначных чисел в пределах 20 (с переходом через десяток).

Порядок выполнения действий в выражениях. Скобки.

Умножение и деление.

Точка и линия. Отрезок.

Длина отрезка: см, дм. Многоугольник. Куб. Ци­линдр и конус. Пирамида. Симметрия. Ось симметрии.

Графа отношений между числами.

Класс

Нумерация в пределах 100. Разрядный состав. Сложение и вычитание в пре­делах 100 без перехода через разряд.

Табличное умножение и деление. Умножение и деление с 0 и 1. Задачи на увеличение и уменьшение в несколько раз.

Компоненты действий сложения, вычитания, умножения и деления, их взаи­мосвязь.

Порядок действий в выражениях со скобками и без скобок.

Доли. Нахождение числа по его доле и доли от числа.

Луч. Взаимное расположение на плоскости лучей и отрезков. Их буквен­ное обозначение. Числовой луч. Координата точки. Многоугольник: вершины, стороны, углы. Периметр многоугольника. Окружность: радиус и диаметр. Угол: прямой и непрямой. Прямоугольник. Свойство противоположных сторон и диа­гоналей прямоугольника. Площадь прямоугольника.

Площадь фигуры: квадратный дециметр, квадратный сантиметр, квадрат­ный метр.

Единицы длины: м, дм, см.

Переменная. Выражение с переменной и его значение. Задачи с переменной.

Класс

Нумерация в пределах 1000. Сложение и вычитание в пределах 1000. Ум­ножение и деление на 10,100. Умножение круглых чисел. Умножение на одно­значное число. Деление с остатком. Деление на однозначное число. Умножение и деление на двузначное число в пределах 1000 (23 • 40). Умножение и деление на двузначное число.

Порядок выполнения действий в выражениях со скобками, упрощение вы­ражений (освобождение от «лишних» скобок). Правила порядка выполнения действий в выражениях без скобок, содержащих все действия.

Верные и неверные высказывания. Числовые равенства и неравенства. Пе­ременная. Уравнение и его корень. Неравенство с переменной.

Ломаная и ее длина. Замкнутая и незамкнутая ломаная. Построение вписан­ных в окружность шестиугольников и треугольников. Прямая. Принадлежность точки прямой. Проведение прямой через одну и две точки. Перпендикуляр­ность. Кратчайшее расстояние от точки до прямой. Построение симметричных фигур (осевая симметрия). Параллельность. Свойство симметричности и тран­зитивности отношения параллельности.

Единицы длины: км, мм. Масса и ее единицы: кг, г, т. Емкость: л. Отмеривание с помощью литровой банки. Единицы времени: ч, мин, с, сут., неделя, год, век.

Решение составных задач. Задачи на движение, на «куплю-продажу» и т. п.

Класс

Многозначные числа: разряд и класс. Сложение и вычитание многозначных чисел. Умножение и деление на двузначное и трехзначное число.

Градусная мера углов. Виды углов. Виды треугольников в зависимости от величины углов или длин сторон. Построение треугольников по трем элемен­там (двум сторонам и углу между ними, стороне и двум прилежащим углам, по трем сторонам). Построение прямоугольника с линейкой и транспортиром.

Многогранник: вершины, ребра, грани. Куб. Прямоугольный параллелепипед. Развертки многогранников. Объем куба: кубический сантиметр и кубический метр.

Координатный угол. Простейшие графики. Диаграммы. Таблицы.

Выражения с одной, двумя и тремя переменными и их значения.

Высказывание и его значение (истина, ложь). Составные высказывания (от­рицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация). Таблицы истинности вы­сказываний. Логические возможности. Отношения, обладающие свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности.

Точные и приближенные значения величины. Измерения с заданной точно­стью. Округление. Погрешность.

Масштаб. План и карта.

Решение арифметических задач в 3—4 действия.

Сопоставительный анализ всех пяти программ с программой тра­диционной школы показывает, что объем изучения нумерации и арифметических действий в них единый. Разница только в распре­делении тем по годам обучения. Программы Л.В. Занкова и «Гармо­ния» не рассматривают задачу в 1 классе, но итоговый уровень слож­ности рассматриваемых в них задач (в 4 классе) одинаков.

Все альтернативные программы содержат значительно больший объем геометрического материала, чем традиционный учебник, при этом значимым отличием является работа с объемными телами и инструментами для построения фигур на плоскости (циркуль, угольник, транспортир).

Программы ИИ. Аргинской и Э.И. Александровой содержат значительный по объему материал работы с дробями: первая — с обык­новенными, вторая — с десятичными, в том числе с процентами.

Программы Л. Г. Петерсон и В.Н. Рудницкой отличаются наи­большим уровнем насыщения курса математики начальной школы алгебраическим материалом и дробями (в том числе и процентами). Программа Л. Г. Петерсон также знакомит учеников начальных классов с элементами теории множеств, а программа В.Н. Рудниц­кой — с элементами формальной логики.

Программа и учебные пособия Н.Б. Истоминой являются наи­менее загруженными дополнительным к традиционному объему материалом и в целом наиболее близки к проекту нормативного документа, рассмотренного в данной лекции.

Очевидно, что для работы по упомянутым программам учитель начальных классов должен обладать достаточно глубокими знания­ми математики, а также быть знакомым с тем, как нетрадиционное для начальной школы содержание (сложные уравнения, дроби, про­центы, элементы теории множеств и логики и др.) рассматрива­ются в методике обучения математике в средней школе, чтобы учитывать требования преемственности обучения.

Возникает также закономерный вопрос: каков главный инстру­мент реализации развивающей функции обучения математике в той или иной альтернативной программе? Ответ на него не явля­ется однозначным: в системе Л.В. Занкова во главу угла ставится необходимость соблюдать дидактические принципы организации развивающего обучения и опора на систему проблемных ситуаций на уроке. В программах Л.Г. Петерсон, В.Н. Рудницкой и Э.И. Алек­сандровой основной «вес» развивающего потенциала связан С усложнением арифметической (системы счисления и дроби), алгебраической (уравнения) и формально-логической (элементы теории множеств и логики) линий содержательного наполнения программ. Это обусловлено значимым влиянием на эти системы взглядов В.В. Давыдова на ведущую роль теоретического мышле­ния в развитии ребенка младшего школьного возраста. В програм­ме Н.Б. Истоминой основная роль «двигателя развития» ребенка и процессе обучения математике отводится построению методиче­ской системы целенаправленного формирования приемов умственных действий (сравнения, обобщения, классификации, аналогии И др). Такой подход позволяет без особых содержательных изме­нений традиционного объема в обучении математике младших школьников нацелить обучающий процесс на развитие таких спо­собов познания ребенка (упомянутые приемы умственных действий определяют процесс познания индивида), которые становятся достоянием субъекта, характеризуя его интеллектуальный потен­циал и познавательные способности[8].

Таким образом, налицо «ситуация неопределенности»: с одной стороны, методика обучения математике младших школьников — это наука, ориентированная на достижение конкретных целей. Предмет ее исследования — отбор и упорядочивание математического содержания {чему учить?), предназначенного для изучения детьми, а также организация совместной деятельности учителя и учащихся {как обучать?). С другой стороны, общий взгляд на цель развивающего обучения (зачем обучать?) сформировался в недрах дидактики и психологии обучения и сформулирован в тер­минах более психологических, чем методических: цель развиваю­щего обучения — личностное развитие ребенка. Таким образом, результаты этого процесса должны, по идее, оцениваться в логике психологической науки — по линии развития психической деятель­ности и в аспекте индивидуально-психологических особенностей детей. Вот здесь и возникает то противоречие, которого не было, пока учебный процесс был ориентирован на «знаниевую па­радигму», когда ответ на вопрос «зачем учить?» имел простой и понятный учителю (а также всем тем, кто должен был осуществ­лять контроль этого процесса) ответ: «чтобы знали!». Сегодня такой ответ не может быть принят в качестве главного в соответствии с установкой на развивающее обучение, но с другой стороны — его нельзя и отвергнуть, поскольку существует понятие «стандарт обучения», в отношении которого установка совершенно одно­значна: дети должны знатьвсе, что обозначено в стандарте. Однако нигде при этом не доказано, что:

во-первых, то, что обозначенные в стандарте знания и умения обеспечат каждому ребенку необходимые (по целевой установке развивающего обучения) психологические новообразования (т. е. положительные сдвиги в его индивидуальном психологическом развитии);

во-вторых, возникает вопрос: какому контролю отдать приоритет — контролю качества знаний или психологическому тестированию ученика при осуществлении мониторинга учебного процесса?

в-третьих, психологический мониторинг совершенно не соче­тается с балльной системой контроля знаний, он требует совер­шенно иных критериев и специализированных знаний при его проведении, не говоря уже о спорности выбора направлений этого мониторинга (различные школы предлагают для анализа раз­личные психологические новообразования школьников);

в-четвертых, сам термин «оптимальное общее развитие школь­ников» (Л.В. Занков) является весьма неопределенным) поскольку развитие каждого ребенка является процессом индивидуализи­рованным, присущим только этому индивиду, а также весьма не­равномерным, поскольку очень зависит от «внутренней среды» (физиологии, психофизиологии, физического и эмоционального состояния ребенка и т. п.).

В этой связи, представляется разумным выделить какое-то од­но направление «общего развития», в частности, предметно свя­занное с математикой как таковой, и поставить целью обучения развитие ребенка преимущественно в этом направлении. В этом случае представляется возможным концентрировать внимание на тех сторонах психического развития ребенка, которые являются базовыми составляющими математического развития. Кроме того, становится обоснованным процесс усвоения математических знаний, поскольку совершенно невозможно доказать, например, не­обходимость знания наизусть таблицы сложения с точки зрения общего развития ребенка, но эта необходимость очевидна с точки зрения математического развития. Таким образом, выбор матема­тического развития в качестве цели математического образования младших школьников позволяет по-новому взглянуть как на по­строение его психолого-дидактического обоснования, так и на от­бор содержания и выбор методов обучения.

 

 

Предыдущая статья:Задачи обучения математике Следующая статья:Психолого-педагогические основы организации математического развития младших школьников
page speed (0.1526 sec, direct)