Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

Деление. 3 страница  Просмотрен 308

300+200=500 потому, что 3 сот.+2 сот.=5 сот.

120-50=70 потому, что 12 дес.-5 дес.=7 дес.

2. Случаи сложения и вычитания без перехода через разряд вида 420+50, 420+500, 830-200, 380+20.

420+50=400+(20+50)=400+70=470

420+500=(400+500)+20=900+20=920

Ученики объясняют приемы вычислений, сравнивают их и приходят к выводу, что удобнее прибавлять сотни к сотням, а десятки к десяткам.

Затем в сопоставлении с этими случаями аналогично рассматриваются случаи вычитания:

830-200=(800-200)+30=630

830-20=800+(30-20)=810

Вывод: удобнее вычитать из сотен сотни, из десятков десятки.

Необходимо показать детям и другой способ вычислений, который сводится к сложению и вычитанию двузначных чисел, выражающих число десятков:

450+30 620-200

45 дес.+3 дес.=48 дес. 62 дес.-20 дес.=42 дес.

М3М, с. 52, «Приемы устных вычислений» (устные вычисления в пределах 1000, которые сводятся либо к выполнению соответствующих действий с десятками, либо к сложению и вычитанию на основе знания разрядного состава трехзначных чисел).

450+30=400+(50+30)=480 или

45 дес.+3 дес.=48 дес.

Таким образом, обращается внимание на то, что при вычислениях в данном случае можно использовать разные вычислительные приемы.

3. Случаи сложения и вычитания с переходом через разряд: 470+80, 560-90.

В качестве подготовки используются упражнения на дополнение чисел до ближайшего разрядного:

Дополни до 400 числа: 340, 370, 380, 390.

Дополни до 800 числа: 760, 750, 770, 790.

М3М, с. 53:

Дети выполняют вычисления сначала с подробным объяснением:

470+80=(470+30)+50=550

30 50

или: 47 дес.+8 дес.=55 дес.

560-90=(560-60)-30=470

60 30

4.Случаи сложения и вычитания вида 260+310, 670-140. (М3М, с. 54).

Пользуясь ранее усвоенными умениями, дети вычисляют разными способами:

260+310=(260+300)+10 - прибавление по частям;

=(200+300)+(60+10) - поразрядное сложение.

670-140=(670-100)-40

=(600-100)+(70-40)

=(670-70)-70

Приемы письменного сложения и вычитания

Подготовительная работа к знакомству с алгоритмами письменного сложения и вычитания трехзначных чисел включает в себя повторение письменных приемов сложения и вычитания двузначных чисел, на которые они опираются (М3М, с.60):

Объясни вычисления: +34 +534 +534

2727427

61 561 961

Также как и раньше, внимание детей акцентируется на каждом частном случае сложения и вычитания.

Сначала ребята упражняются в сложении и вычитании чисел с переходом через разряд (в разряде десятков) (С.61).

+356 Пишу..

272 Складываю единицы в разряде единиц…

628 Складываю единицы в разряде десятков: 5+7=12, 12 единиц разряда дес. – это 1 ед. разряда сотен и 2 ед. разряда дес. 2 пишу в разряде десятков в ответе, 1 ед. разряда сотен запоминаю…

(сравнить с алгоритмом, предложенным в учебнике).

Предварительно включаются упражнения вида: 8 дес.

+6 дес.=14 дес=1 сот. 4 дес.,
в которых требуется выразить результат в более крупных единицах (и наоборот).

Аналогично рассматриваются случаи вычитания (с.62):

_ 637 Пишу..

273 Вычитаю ед.

364 Вычитаю дес.: Из 3 нельзя вычесть 7. Беру 1 сот. из 6 сотен (чтобы не забыть об этом, ставлю точку над разрядом сотен). 1 сот. 3 дес. – это 13 дес. 13-7=6.

В качестве подготовительных упражнений полезно использовать устные задания вида: 1 сот.5 дес.-8 дес. и т.п.

Следует также повторить соотношение разрядных единиц и преобразование единиц высших разрядов в единицы соседних низших разрядов: 2 сот.5 дес.=25 дес.

Затем рассматриваются случаи сложения с переходом через два разряда ( в разряде десятков и в разряде единиц), а также случаи, когда при сложении разрядных единиц или разрядных десятков получается число, равное 10 ед. или 10 дес. (с.63).

437+95, 326+279, 246+354

Позднее включаются случаи вычитания, когда приходится занимать (один или два раза) единицу соседнего высшего разряда (с.64).

463-181, 548-93, 870-380

Для выработки вычислительных навыков по традиционной программе предлагается достаточное количество тренировочных упражнений:

Ø вычисли и сделай проверку (сложение – вычитанием, вычитание - сложением или вычитанием);

Ø объясни ошибки, допущенные при вычислении;

Ø вставь пропущенные цифры (ребусы).

Здесь включаются упражнения с равенствами, неравенствами, уравнениями, решение задач, в которых приходится применять письменные вычисления.

2.5. Методика обучения сложению и вычитанию

многозначных чисел

Так как предполагается, что алгоритмом письменного сложения и вычитания учащиеся овладели в концентре «Тысяча», то тема «Сложение и вычитание многозначных чисел» в учебнике М4М (ч. 1, с. 67) начинается с установки: Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трехзначных чисел.

Объясни, как выполнено сложение и вычитание:

+3 126 _25 346

4 2923 407

7 418 21 939

Перед рассмотрением случаев сложения и вычитания чисел с нулями в середине или на конце целесообразно повторить действия с 0:

Объясни, что обозначают записи в рамках.

           
 
в+0=в
 
0+с=с
 
а-0=а

 


Далее дети вычисляют значения выражений вида:

+528 047 _ 320 260

106 875 21 476

 

Позднее учащиеся встречаются с наиболее трудными случаями вида:

_ _60 500 _300 000

32 067 2 468

 

Затруднения здесь возникают в связи с тем, что преобразование одних разрядных единиц в другие приходится выполнять несколько раз. Поэтому предварительно нужно повторить соотношение между разрядными единицами.

М4М, с. 68, № 370: Заполни пропуски:

В 1 млн 10…тысяч в 1 тыс. 10…

В 1 сот. тыс. 10 …тысяч в 1 сот. 10…

В 1 дес. тыс. 10 … в 1 дес. 10…

Сначала вычисления сопровождаются подробным объяснением:

_ 300 000 Пишу…

2 468 Вычитаю единицы. Из 0 нельзя вычесть 8. Занимаем из 3 сот. тыс. 1 сот. тыс.; 1 сот. тыс.=10 дес. тыс., 1 дес. тыс.=10 тыс., 1 тыс.= 10 сот., 1 сот.=10 дес., 1 дес.=10 ед., 10-8=2. Пишу 2 в разряде единиц ответа.

Вычитаю дес. Т.к. 1 дес. мы занимали, осталось 9 дес. , 9-6=3, пишу 3 под дес.

и т.д.

В теме «Сложение и вычитание» учащиеся рассматривают случаи сложения нескольких слагаемых.

М4М, с.71: Вычислим сумму: 386+47 088+375 092

1 способ. 1) + 42 088 2) +375 092

38642 474

42 474 417 566

2 способ. +375 092

42 088

386

 

При изучении сложения и вычитания многозначных чисел важно уделить внимание устным приемам выполнения этих действий. С этой целью следует систематически включать упражнения на закрепление устных приемов сложения и вычитания двух-, трехзначных чисел, а также многозначных с применением приемов перестановки и группировки при сложении нескольких чисел.

М4М, с.66, тема «Перестановка и группировка слагаемых».

Вычисли удобно наиболее легким способом: 48+530+70+52

Вслед за изучением сложения и вычитания многозначных чисел приступают к сложению и вычитанию составных именованных чисел, выраженных в метрических мерах, т.к. приемы этих вычислений сходны.

М4М, с. 72, тема «Сложение и вычитание величин».

Действия над составными именованными числами можно выполнять по-разному.

Ø Сразу складывают или вычитают единицы одинаковых наименований:

8 кг+300 г=8 кг 300 г

1 ч 30 мин+25 мин=1 ч 55 мин

2 м 45 см + 3 м 15 см=5 м 60 см

Ø Сначала преобразовать данные числа в простые именованные числа с одинаковыми наименованиями, выполнить действия над ними, как над отвлеченными числами и выразить полученный результат в более крупных единицах измерения.

124 м 75 см + 39 м 85 см = 164 м 60 см + 12 474

124 м 75 см = 12475 см 3 985

39 м 85 см = 3985 см 16 460

164 60 см = 164 м 60 см

Литература.

 

1. Бантова М.И. Ошибки в вычислениях

2. Елисеева Сложение и вычитание в пределах 10

3. Истомина Н.Б. О выборе методов обучения на уроках математики // НШ,

 


3. Методика обучения умножению и делению

3.1. Методика обучения табличному умножению и делению

Произведением целых неотрицательных чисел а и в называют такое целое неотрицательное число а·в, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) если в>1, то а·в =а+а+а+…+а

в

(сумма в одинаковых слагаемых, каждое из которых равно а)

2) если в = 1, то а·в = а

3) если в = 0, то а·в = 0

Рассмотренному случаю (1) можно дать теоретико-множественную трактовку.

Если множества А1, А2, А3,…,Аb имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А1∪А2∪А3∪…∪Аb содержит а·в элементов.

А1~ А23~…~Аb, попарно не пересекаются,

n(А1) = n(А2) = n(А3) =…= n(Аb) = a

A= А1∪А2∪А3∪…∪Аb

n(А)=n(А1∪А2∪А3∪…∪Аb)= n(А1) + n(А2) + n(А3) +…+ n(Аb) = а + а + а +…+ а=а · в

в

Таким образом, с теоретико-множественных позиций, произведение натуральных чисел а·в представляет собой число элементов в объединении в равномощных, попарно не пересекающихся множеств, в каждом из которых по а элементов.

Действие, с помощью которого находят произведение, называется умножением.

Таким образом, умножение определяется как сложение одинаковых слагаемых.

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу:

На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?

В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых по 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств. Если n(А1) = n(А2) = n(А3) =4, то n(А1∪А2∪А3)= n(А1) + n(А2) + n(А3) = 4+4+4 = 4 · 3. Произведение 4 · 3 является математической моделью данной задачи. Так как 4 · 3=12, то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

В изучении действий умножения и деления выделяют 2 этапа: подготовительный и основной.

Подготовительный этап.

§ Конкретный смысл умножения

§ Составление таблицы умножения числа 2, числа 3

§ Переместительное свойство умножения

§ Составление таблицы умножения на 2, на 3

§ Конкретный смысл деления

§ Взаимосвязь между компонентами и результатом действий умножения и деления

§ Составление таблицы деления на 2 и таблицы деления с частным 2

§ Особые случаи умножения и деления 1, 0, с числом 10.

Основной этап

§ Табличное умножение и деление с числом 4, …, с числом 9.

§ Сводная таблица умножения и деления.

 

 

Подготовительный этап

 

Как и все математические понятия в начальной школе, умножение и деление вводятся с помощью системы целесообразно подобранных задач с последующей математизацией их содержания.

Пример. Боря носил дрова. Первый раз он принес 2 полена, во второй раз 2 полена, в третий раз 2 полена. Сколько всего поленьев дров принес Боря?

- Прочитайте, какая это задача? Объясните, почему эта задача составная.

- Решим первую простую задачу: 2+2=4 (п.)

- Что мы узнали этим действием? (сколько поленьев принес Боря в первый и во второй раз).

- Сформулируйте вторую простую задачу (В первый и во второй раз Боря принес 4 полена, а в третий раз еще 2. Сколько всего…?)

- Решение: 4+2=6 (п.)

- Мы решили задачу по действиям. Запишите решение задачи выражением и найдите его значение (2+2+2=6)

Учитель обобщает:

- При решении задачи мы выполнили 2 действия. Но решение этой задачи будет более легким, если задачу сформулировать кратко. Каждое из повторяющихся слагаемых нужно взять один раз и указать, сколько раз оно повторяется. Для этого необходимо применять слово «по».

- Какое число повторяется в задаче? (число 2)

- Сколько раз повторяется число 2? (3 раза)

- Как теперь сформулировать задачу кратко? (Боря приносил по 2 полена 3 раза. Сколько всего поленьев дров принес Боря?)

- Ту же самую задачу мы сформулировали иначе (кратко). Кратко можно записать и ее решение. Сначала запишем то число, около которого стоит слово «по» (2). Это число берется слагаемым. Затем ставим знак «·» (точку). Потом пишем число, которое показывает, сколько раз взяли слагаемым число 2 (3). Затем напишем знак «=» и полученный результат (6). Равенство, которое мы получили, читается так: по 2 взять 3 раза, получится 6; 2 умножить на 3, равно 6.

Таким образом, умножение вводится как более короткая запись сложения.

Для закрепления смысла действия умножения можно предлагать учащимся следующие упражнения:

§ Замена суммы равных слагаемых произведением;

§ Замена произведения суммой равных слагаемых:

3·4 Прочитайте выражение. Что в этой записи обозначает число 3? Число 4? Заменим умножение сложением: 3+3+3+3=12

§ Расположить в порядке возрастания следующие выражения: 2·9, 2·4, 2·6, 2·8.

Полезно выяснить, нужно ли для выполнения данного задания вычислять значения выражений (нет, т.к. мы смотрим, сколько раз берется слагаемым число 2).

§ Сравнить выражения и поставить знак >, <, = :

4+4+4*4·2 3·4*2·4 4·7+4*4·9

§ Найти значение второго выражения, используя значение первого:

2·6=12

2·7=œ

§ Заменить сложение умножением, если это возможно:

3+3+3 6+5+5 4+4+4+4+4+4 2+7+9+9

 

Впоследствии учащиеся 2 класса знакомятся с названиями компонентов и результата действия умножения.

2 · 3 = 6
2 – первый множитель

3 – второй множитель

2·3 – произведение

6 – значение произведения

Далее изучается тема «Умножение двух». Этот еще не изучение табличных случаев, а работа над смыслом действия умножения. Такое распределение материала позволяет установить более тесную связь между теорией и практикой: каждый теоретический вопрос подкрепляется конкретным случаем, связанным с составлением таблиц.

2·2=2+2=4

2·3=2+2+2=6

2·4=2+2+2+2=8

Анализируется: при умножении двух первый множитель одинаковый, второй множитель больше предыдущего на 1, т.е. всякий раз берется на один раз по 2 больше. Значит, значение произведения будет больше предыдущего на 2. Таким образом, зная значение предыдущего произведения, можно получить последующее, прибавив 2.теоретическая основа – дистрибутивность умножения относительно сложения:

2·4=2·(3+1)=2·3+2·1=6+2=8

Аналогично рассматриваются случаи умножения трех.

После составления таблиц умножения двух и трех вводится переместительное свойство умножения.

Коммутативность действия умножения:

" a, b Î Z0 a·b=b·a

(значение произведения чисел а и в равно значению произведения чисел в и а)

 

В учебнике Моро переместительное свойство предлагается «открыть» при выполнении следующего задания:

Подсчитайте двумя способами, сколько всего квадратов на рисунке:

 

1) З ряда клеток, по 6 в каждом ряду

6·3=18

2) 6 рядов клеток, по в каждом ряду

3·6=18

 

Сравниваем равенства: множители равны, только переставлены местами, значения произведений равны. Приходят к выводу: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.

Возможно использование частично-поискового метода. В этом случае учитель может предложить детям сравнить выражения:

4+3…3+4 5+2…2+5 6+3…3+6

Работа проверяется, выясняется. Каким свойством пользовались учащиеся при сравнении выражений. Учитель подводит итог и предлагает подумать, как можно выяснить, выполняется ли данное свойство для умножения.

Учащиеся по аналогии с предыдущим случаем составляют соответствующие выражения и проверяют справедливость переместительного свойства для умножения.

Переместительное свойство умножения играет большую роль при составлении таблиц. Его применение позволяет сократить число случаев табличного умножения, которые учащиеся должны запомнить. Вместо двух произведений 8·3 и 3·8 ученики запоминают только один.

После знакомства с переместительным свойством умножения школьники самостоятельно составляют таблицу умножения на 2: 3·2, 4·2, 5·2 и т.д.

Позднее аналогично составляется таблица умножения на 3.

2·3 Переставим множители местами и умножим 3 на 2, получим 6.

Определение частного натуральных чисел с теоретико-множественной позиции:

Если а = п(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

в – число элементов в каждом подмножестве, то частное а:в – это число таких подмножеств;

в – число подмножеств, то частное а:в – это число элементов в каждом подмножестве.

При разъяснении смысла действия деления ведущим является практический метод, который лежит в основе специально подобранных задач:

8 апельсинов разложили на тарелки, по 2 апельсина на каждую. Сколько раз по 2 апельсина разложили? Сколько тарелок потребовалось?

На столе учителя лежат модели апельсинов. Вызванный к доске ученик берет 2 апельсина и кладет их на первую тарелку, затем берет еще 2 апельсина и кладет их на вторую тарелку и т.д. в результате проделанных действий учащиеся практически получают ответ на поставленный вопрос.

Учитель сообщает, что действие, которое выполнили ученики, называется в математике делением и для его записи используется специальный знак «:». Если записать с помощью математических символов то действие, которое выполнил ученик, раскладывая апельсины по тарелкам, то оно будет выглядеть так: 8:2=4 (т.)

8 – число всех апельсинов, 2 – число, показывающее, как мы делили (брали каждый раз по 2).

 

А

         
         
         
         

 

 


А1 ~ А2 ~ А3 ~ А4

а : в=с

а=8 – число элементов множества А; в=2 – число элементов в каждом равномощном подмножестве; с=4 – число равномощных подмножеств в разбиении множества А.

Задачи рассмотренного вида относят в методике к задачам «на деление по содержанию».

После данного вида задач вводятся задачи «на деление на равные части».

12 карандашей раздали трем ученикам поровну. Сколько карандашей получил каждый?

Учитель вызывает к доске трех учеников, а четвертому дает 12 карандашей.

- Как разделить карандаши поровну? (сначала возьмем столько карандашей, чтобы дать каждому по одному, т.е. 3, раздадим каждому; затем возьмем еще столько карандашей, чтобы дать каждому по одному, т.е. еще 3 и т.д., пока карандаши не закончатся).

Необходимо, чтобы учащиеся поняли, что все карандаши разделили на 3 равные части.

12:3=4 (к.)

12 – число, показывающее, сколько всего карандашей было разделено (число элементов множества А);

3 – число, показывающее, как делили (число равномощных подмножеств);

4 – число элементов в каждом подмножестве.

Для обобщения двух видов деления можно предложить сравнить задачи с одинаковыми числами и сюжетом.

6 огурцов разложили на тарелки, по 2 огурца на каждую. Сколько понадобилось тарелок? 6 огурцов разложили поровну на 2 тарелки. Сколько огурцов на каждой тарелке?

 

 

Взаимосвязь между компонентами и результатом действия умножения раскрывается с помощью наглядных пособий. Учащимся предлагается составить равенства на умножение по рисунку:

        
       

 

        
       

 


- По сколько треугольников в каждом ряду? Сколько всего рядов? Как узнать, сколько всего треугольников?

Составляют равенства: 3·4=12, 4·3=12

- Сколько всего треугольников? По сколько треугольников в каждом ряду? Как узнать, сколько всего рядов?

- Сколько всего треугольников? Во сколько рядов они расположены? Как узнать, сколько треугольников в каждом ряду?

Ученики составляют равенства: 4·3=12

12:3=4

12:4=3

 

-Назовите в равенстве на умножение компоненты и результат (первый множитель 4, второй множитель 3, значение произведения 12).

- Сравните равенства на умножение с равенствами на деление. Как получили второй множитель 3? (значение произведения 12 разделили на первый множитель 4).

- Как получили первый множитель? (значение произведения 12 разделили на второй множитель 3).

После выполнения нескольких аналогичных упражнений ученики делают вывод: если значение произведения разделить на один из множителей, то получится другой множитель.

Осознание и усвоение взаимосвязи между компонентами и результатом действия умножения играет большую роль при составлении таблиц деления. На ее основе возможно одновременное рассмотрение таблиц умножения и деления, поэтому очень важно, чтобы она была усвоена не формально, а чтобы учащиеся могли соотнести каждую запись с конкретным содержанием. Учащиеся должны понять, что из каждого равенства на умножение можно составить 2 равенства на деление.

При рассмотрении взаимосвязи между компонентами и результатом деления предлагается сначала задача на деление и в сравнении с ней две задачи: одна на умножение, другая на деление.

6:2=3

6:3=2

2·3=6

 

12:4 На какое число надо умножить делитель 4, чтобы получить делимое 12?

 

Особые случаи умножения и деления

Сначала рассматриваются случаи умножения 1 и 0 на числа, большие 1. Учащиеся находят значения произведений, заменяя умножение сложением:

1·5=1+1+1+1+1=5

0·3=0+0+0=0

Затем, сравнив в каждом случае результат с множителем, они приходят к выводу: при умножении 1 на любое число получается то число, на которое умножали; при умножении 0 на любое число получается 0.

Умножение на 1 вводится как определение. Здесь нельзя опираться ни на конкретный смысл умножения, ни на перестановку множителей, т.к. первый множитель «не повторяется» (не берется слагаемым ни разу), поэтому невозможно умножение проверить сложением. Пользуясь правилом: при умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали, - учащиеся записывают конкретные равенства: 4·1=4, 32·1=32

При умножении числа на 0 результат также нельзя найти сложением, нельзя использовать и перестановку множителей, т.к. это новая область чисел (Z0), в котором переместительное свойство умножения не раскрывалось. Поэтому втрое правило: при умножении любого числа на 0 получается 0 – учитель просто сообщает детям. Например, 3·0=0, 12·0=0, 58·0=0.

Как известно, делить на 0 нельзя. Этот факт сообщается детям и поясняется на примере (на основе взаимосвязи между компонентами и результатом умножения): нельзя 8 разделить на 0, т.к. нет такого числа, при умножении которого на 0 получится 8.

Знание взаимосвязи между компонентами и результатом умножения используется также при рассмотрении случаев деления числа на само себя и на 1.

1·13=13

13:13=1 Какое число нужно умножить на 13, чтобы получить 13?

13:1=13

В результате формулируется вывод: при делении числа, не равного 0, на то же самое число получается 1; при делении числа на 1 получается то же самое число.

Аналогично рассуждают и при делении 0 на число (не равное 0). Чтобы 0 разделить на 6, надо найти такое число, при умножении которого на 6 получится 0. Это 0, т.к. 0·6=0. Значит, 0:6=0.

В результате решения аналогичных заданий ученики подмечают, что при делении 0 на любое число, не равное 0, значение частного всегда равно 0.

При умножении 10 на однозначное число ученики пользуются приемом: чтобы умножить 10 на 2, нужно 1 дес. умножить на 2, получится 2 дес. или 20.

Или: 10·2=10+10=20

Умножая на 10, используют переместительное свойство умножения:

2·10=10·2=10+10=20

При делении на 10 используется знание связи между компонетами и результатом умножения: чтобы 20 разделить на 10, надо подобрать такое число, при умножении котрого на 10 получится 20; это 2, значит, 20:10=2.

Предыдущая статья:Деление. 2 страница Следующая статья:Деление. 4 страница
page speed (0.0231 sec, direct)