Всего на сайте:
236 тыс. 713 статей

Главная | Математика

Деление. 1 страница  Просмотрен 168

Методика изучения арифметических действий

Общие вопросы методики формирования вычислительных навыков.

Формирование вычислительных умений и навыков – одна из основных задач начального курса математики.

Вычислительное умение – это развернутое осуществление действия, в котором каждая операция осознается и контролируется.

Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема. Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством.

18×2=(10+8) ×2=10×2+8×2=20+16=36

В отличие от умения навыки характеризуются свернутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат.

18×2=20+16=36

Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительным приемом. Вычислительный навык складывается из следующих характеристик:

правильность - ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.

осознанность- ученик осознает, на основе каких свойств арифметических действий выбраны операции вычислительного приема и почему именно такой порядок их выполнения.

рациональность- ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием. Это качество навыка проявляется тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата. Например:

15×6=15+15+15+15+15+15=90

15×6=(10+5) ×6=10×6+5×6=60+30=90

15×6=15× (2×3)=(15×2) ×3=30×3=90

обобщенность-ученик может применить вычислительный прием к большому числу случаев и способен перенести умение выполнять этот прием на новые случаи:

213×2=(200+10+3) ×2

(правило умножения суммы на число для случаев, когда слагаемых больше двух).

автоматизм (свернутость)- ученик может выполнять операции достаточно быстро и свернуто, однако в случае необходимости всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.

прочность- ученик сохраняет сформированный вычислительный навык достаточно долго.

Рассмотрим основные вопросы методики формирования вычислительных навыков в начальной школе.

Общая схема изучения вычислительного приема:

1. изучается математическое правило, которое является теоретической основой приема;

2. изучается сам вычислительный прием, который выполняется на основе правила.

В методике работы над каждым отдельным приемом можно выделить ряд этапов.

Этапы формирования вычислительного навыка:

1. подготовка к введению нового приема

На этом этапе готовность к усвоению нового вычислительного приема: изучаются теоретические положения, на которых базируется прием, повторяются или изучаются отдельные операции, которые входят в вычислительный прием.

Например, подготовительная работа для случаев вида 15×6 включает рассмотрение следующих вопросов:

ü изучение правила умножения суммы на число;

ü повторение разрядного состава двузначных чисел;

ü умножение круглых десятков на число;

ü табличное умножение.

2. ознакомление с вычислительным приемом

На этом этапе ученики усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

Выделяют такие формы интерпретации приема, как:

а) материальная (представление данного приема в виде каких-либо материальных объектов: абак, палочки и т.д.)

     
30-6

  
 
  
 

 


б) перцептивная (создание зрительного восприятия).

- Посмотрите на рисунок и объясните, какое действие выполнили:

                    
                   
                    
                   
                    
                     
                    
                    

 

 


В результате интерпретации вычислительного приема в материальной и перцептивной формах вырабатывается ориентировочная основа действия.

в) внешнеречевая форма сначала связана с перцептивной: предлагается развернутая запись всех операций (выполнение каждой операции сопровождается подробными пояснениями).

30-6=(20+10)-6=20+(10-6)=20+4=24

3. Закрепление знания вычислительного приема и выработка вычислительного навыка.

Выделяют 4 стадии:

1 стадия. Закрепляется знание приема: ученики самостоятельно выполняют операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись. Начинается эта стадия, как правило, на том же уроке, на котором учитель знакомит с новым приемом.

2 стадия. Частичное свертывание выполнения операций: учащиеся вслух выделяют только основные операции, а вспомогательные операции (какие-то промежуточные вычисления) выполняют «про себя», что способствует их свертыванию, т.е. быстрому выполнению в плане внутренней речи.

3 стадия (внутриречевая). Полное свертывание выполнения операций: учащиеся называют только конечный результат, а все операции выполняются «про себя».

4 стадия. Предельное свертывание выполнения операций: учащиеся выполняют все операции в свернутом плане, предельно быстро, без проговаривания, т. е. они овладевают вычислительным навыком. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений.

В случае затруднения при выполнении арифметических действий учитель должен вернуться к любому из этапов формирования навыка, к любой форме, любой стадии с учетом индивидуальных особенностей ребенка.

 


3.2. Методика обучения сложению и вычитанию

1. Методика изучения конкретного смысла сложения и вычитания

В основе изучения действий сложения и вычитания в начальной школе лежит теоретико-множественная трактовка этих действий.

Сложение трактуется как объединение двух непересекающихся конечных множеств, а нахождение результата при выполнении сложения связано с подсчетом элементов в этом объединении.

Сумма натуральных чисел а и в представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = n (A), в = n (B).

а+в=n (A∪B), A∩B=Æ, n (A∪B) = n (A) + n (B)

Например, 2+3=5.

A={a, b}, B={c, d, e}, A∪B={a, b, c, d, e}, n (A∪B) =5.

Вычитание трактуется как удаление части множества, а нахождение результата при вычитании связано с подсчетом элементов в оставшейся части.

Разность натуральных чисел а и в представляет собой число элементов в дополнении множества В до множества А, если а = n (A), в = n (B) и B Ì A.

a-b= n (A) - n (B)= n (A\B), если B Ì A, A\B={x| xÎA u xÏB}.

Например, 3-2=1

A={a, b, c}, B={a, c}, B Ì A, A\B={b}, n (A\B) =1.

Определений действий сложения и вычитания в учебнике математики не дается. Конкретный смысл этих действий ученики осознают в процессе выполнения предметных действий с различными множествами предметов. Рассмотрим примеры таких предметных действий.

Предметные действия при сложении

1.Увеличение предметной совокупности на несколько предметов.

Пример. У Коли было 4 яблока. Его угостили еще одним. Покажи, сколько яблок стало у Коли.

2. Увеличение на несколько предметов множества, равночисленного данному.

            
           
              
            
            

 

 


Пример. У жука 6 ног, а у паука на 2 ноги больше. Покажи, сколько ног у паука.

3. Составление одного предметного множества из двух данных.

 


Пример. У Вани 6 значков, а у Лены 4 значка. Покажи, сколько значков у Вани и у Лены вместе.

В процессе выполнения предметных действий у детей формируется представление о сложении как о действии, которое связано с увеличением количества предметов.

Указанием к выполнению предметных действий является задание «Покажи…». Например, учитель предлагает задание «У Коли было 4 марки. Ему подарили еще 2. Покажи, сколько марок стало у Коли».

Дети выкладывают 4 марки (4 геометрических фигуры) и движением руки показывают, сколько марок было у Коли. Затем добавляют еще 2 марки. И движением руки показывают, сколько марок стало у Коли. Далее выясняется, как можно записать выполненное предметное действие математическими знаками, используя для этой цели цифры, знаки «+», и «=» (4+2=6). По мнению Н.Б. Истоминой, уже на данном этапе целесообразно познакомить детей с терминами «выражение», «равенство» (хотя по традиционной программе они вводятся только во втором классе).

Для разъяснения смысла сложения можно также опираться на представления детей о соотношении целого и его частей (данная тема выделена во всех программах, кроме традиционной). В этом случае для приведенной ситуации все марки Коли (целое) будут состоять из двух частей: марки, которые у него «были», и марки, которые ему «подарили».

Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение (4+2) или равенство (4+2=6).

Ситуации вида а) фактически можно свести к ситуациям вида в), рассматривая марки, которые были у Коли, как одно предметное множество, а марки, которые ему подарили, как другое предметное множество.

В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуациям вида б), у них формируется понятие «больше на», представления о котором связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же»), и ее увеличением на несколько предметов («и еще»). В этом случае объединяют совокупности «столько же» и «еще».

Предметные действия при вычитании.

1. Уменьшение данного множества на несколько предметов.

 

 

Пример. Лара нарисовала 6 астр. 3 астры она раскрасила. Покажи, сколько астр осталось раскрасить.

2. Уменьшение множества, равночисленному данному, на несколько предметов.

        
       
        

 


Пример. Дима сорвал 3 сливы, а Ира на 1 сливу меньше. Покажи, сколько слив сорвала Ира.

3. Сравнение двух предметных множеств, т.е. ответ на вопрос «На сколько предметов в одном множестве больше (меньше), чем в другом?»

 

   
   
   
   

 


Пример. У клоунов 6 колец и 4 шляпы. Покажи, на сколько колец больше, чем шляп.

В результате выполнения предметных действий дети обобщают: вычитание- это действие, которое связано с уменьшением количества предметов.

Пример. У Маши было 6 шаров. 2 она подарила Тане. Покажи шары, которые у нее остались.

 

Дети рисуют 6 шаров, зачеркивают 2 и показывают движением руки те шары, которые остались у Маши.

 

 

Для разъяснения смысла вычитания, так же как и сложения, можно использовать представления детей о соотношении целого и частей. В этом случае шары, которые были у Маши («целое»), состоят из двух частей: «шары, которые она подарила» и «шары, которые у нее остались».

Часть всегда меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитанием. Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение (6-2) или равенство (6-2=4).

В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуации б), у них формируются представления о понятии «меньше на», которые связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же»), и ее уменьшением на несколько предметов («без»). В этом случае совокупность, обозначаемая термином «без», включается в совокупность, обозначаемую термином «столько же». Совокупность, полученная в результате вычитания, является дополнением совокупности, обозначаемой термином «без», до совокупности предметов, обозначаемой термином «столько же».

При рассмотрении ситуации в) в практике обучения обычно учащимся предлагается иллюстрация, по которой проводится следующая беседа:

          
         
          

 


- В каком ряду кругов больше? (дети легко справляются с ответом).

- На сколько в верхнем ряду предметов больше, чем в нижнем? (Ответ также не вызывает затруднений, но при этом дети не соотносят его с вычитанием, т.к. в этом нет необходимости).

Дело в том, что предметные действия как таковые отсутствуют, и младшие школьники ориентируются на пересчет «лишних» предметов. Для того чтобы они могли осознать связь вопроса «На сколько больше (меньше)?» с вычитанием, необходимо соответствующим образом организовать их деятельность.

К доске вызываются 2 ученика. Каждому из них дается фланелеграф с кругами (5 и 7 кругов соответственно). Ребята встают так, чтобы не видеть кругов на фланелеграфе друг у друга. Класс также не должен видеть этих кругов.

- Никто не знает, сколько кругов у каждого ученика на фланелеграфе, и не может пока ответить на вопрос, у кого их больше или меньше. Поступим так: ученики, стоящие у доски, будут одновременно снимать по одному кругу. Может быть, выполнение этого действия поможет ответить на вопрос.

Данное задание выполняется у доски. Наступает момент, когда один из учеников говорит:

- У меня больше нет кругов.

- А у тебя еще остались круги?- спрашивает учитель другого ученика (да).

Учитель обращается к классу:

- Может быть, теперь кто-нибудь догадался, у кого кругов больше, у кого меньше?

- Как ты догадался? (у кого круги остались, у того и больше).

- На сколько больше кругов у Вити, чем у Коли? (нужно посмотреть, сколько кругов осталось).

- А можно ответить на вопрос, не глядя на фланелеграф? (задумываются).

 

- Хорошо, давайте посчитаем, сколько кругов дал мне Коля, а сколько Витя (одинаково – по 5).

- А если я вам скажу, что у Вити было 7 кругов. Может кто-нибудь ответить на вопрос: «на сколько у Вити кругов больше, чем у Коли?» (нужно 7-5).

В результате у детей формируется представление о разностном сравнении чисел, которое можно обобщить в виде правила: «чтобы узнать, на сколько одно число больше (меньше) другого, нужно из большего числа вычесть меньшее».

При сравнении совокупностей двух предметных множеств также можно опираться на представления детей о соотношении целого и частей. Для этого необходимо обратить их внимание на то, что для ответа на вопрос «на сколько больше (меньше)?» мы выделяем в большей совокупности такую часть предметов, которая равночисленна другой данной совокупности, и находим другую часть большей совокупности, т.е. выполняем вычитание.

Задание. Найдите в учебниках математики для начальных классов иллюстрации, которыми можно воспользоваться при формировании у учащихся представлений о смысле сложения и вычитания. Составьте вопросы для беседы с детьми по этим иллюстрациям и приведите предполагаемые ответы.

Учащиеся обычно не затрудняются при соотнесении предметных действий со сложением. Исключение – ситуации, связанные с объединением множеств, при характеристике которых используются слова, отождествляемые с вычитанием:

Пример. От куска отрезали 3 м, потом еще 2 м. Сколько всего отрезали?

При усвоении смысла вычитания для некоторых детей представляет сложность вычленение, удаление части множества (см. исследование Г. Микулиной «Психологические особенности усвоения смысла вычитания» / НШ, 1982 № 9; «Действия с предметами как основа усвоения математических понятий» / НШ, 1983, № 9).

 

По традиционной программе тема «Сложение и вычитание» изучается в течение всех лет обучения:

1 кл.-сложение и вычитание в пределах 10, 20;

2 кл.- в пределах 100;

3 кл.- в пределах 1000;

4 кл.- сложение и вычитание многозначных чисел.

 


2.2. Методика обучения сложению и вычитанию в пределах 10.

Задачи изучения темы:

1. разъяснить смысл действий сложения и вычитания;

2. познакомить с вычислительными приемами и сформировать умение их применять при составлении таблиц сложения и вычитания;

3. сформировать навыки табличного сложения и вычитания в тесной связи с усвоением состава чисел в пределах 10;

4. познакомить с названиями компонентов и результатов действий сложения и вычитания; рассмотреть сумму и разность как выражения;

5. разъяснить взаимосвязь между значением суммы и слагаемыми.

 

Теоретическое обоснование Способ действия Таблицы сложения и вычитания
Принцип построения натурального ряда чисел Присчитывание и отсчитывание по 1 а+1, а-1
Смысл сложения и вычитания Присчитывание и отсчитывание по частям а+2, а-2; а+3, а-3; а+4, а-4  
Переместительное свойство сложения Перестановка слагаемых а+5, а+6, а+7, а+8, а+9
Взаимосвязь сложения и вычитания Правило: если из значения суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое а-5, а-6, а-7, а-8, а-9

 

1. а±1

Начиная с первых уроков по изучению нумерации дети усваивают принцип образования натурального ряда чисел: последующее число получают из предшествующего присчитыванием 1, а предшествующее число получается из последующего отсчитыванием 1. Поэтому они свободно выполняют прибавление и вычитание 1 (без пересчитывания). Их следует подвести к выводу: прибавить число 1 к данному числу – значит назвать следующее за ним число; вычесть число 1 из данного числа – значит назвать предшествующее ему число.

На первом уроке, посвященном изучению операций сложения и вычитания, систематизируются знания учащихся по прибавлению и вычитанию числа 1, составляются и заучиваются таблицы «Прибавить 1», «Вычесть 1».

Учебник, М1М, ч.1, с. 72-73.

Беседа по иллюстрации сопровождается записью соответствующих равенств в тетради:

- На вышке было 10 лягушат. Сколько лягушат осталось на вышке, когда 1 спрыгнул в воду? (9). Почему? (10-1=9).

- Сколько лягушат останется на вышке, когда еще 1 спрыгнет в воду? (8). Почему? (9-1=8).

- Сколько лягушат станет после этого в воде? (2). Почему? (1+1=2).

Учитель обращает внимание на то, что каждый раз на вышке становится на одного лягушонка меньше, а количество лягушат в воде увеличивается.

Беседа по таблицам:

- Рассмотрите равенства в первом и во втором столбиках. Чем они похожи? Чем отличаются? Прочитайте равенства первого столбика. (К 1 прибавить 1, получится 2).

- Во всех равенствах первого столбика есть знак «+», который называется «плюс». Равенства первого столбика можно прочитать так: «1 плюс 1, равно 2». В этих равенствах выполняется действие сложения.

Дети упражняются в чтении остальных равенств.

- Прочитайте равенства второго столбика (из 10 вычесть 1, получится 9).

Во всех этих равенствах есть знак «-«, который читается как «минус». Это значит, что в равенствах второго столбика выполняется действие вычитания, и их можно прочитать так: «10 минус 1, равно 9».

2. а±2, а±3, а±4.

Уже на следующем уроке ставится задача обучения детей выполнению упражнений вида ž+1+1, ž-1-1. Это является непосредственной подготовкой к рассмотрению приемов прибавления и вычитания числа 2.

Учебник, М1М. Ч. 1, с.

- Сколько лягушек сидит в воде? (4).

- К ним прыгает еще одна. Сколько лягушек станет в воде? (4 да 1=5).

- Если еще одна лягушка прыгнет в воду, сколько будет всего лягушек? (5 да 1=6).

- Итак, сколько было лягушек в воде? (4).

- Сколько к ним сначала добавилось? (1). Сколько потом? (1). Сколько всего прибавилось? (2).

Предыдущая статья:Упражнение «Энергетическая зевота». Следующая статья:Деление. 2 страница
page speed (0.0571 sec, direct)