Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

Лабораторная работа №3 Построение уравнений регрессии  Просмотрен 176

 

Задача.Для данного набора точек на плоскости построить методом наименьших квадратов кривую, наименее от них отклоняющуюся, нескольких видов: 1) полиномиальная регрессия; 2) гиперболическая регрессия;
3) степенная регрессия; 4) показательная регрессия. Для данного набора точек в пространстве построить методом наименьших квадратов поверхность, наименее от них отклоняющуюся, нескольких видов: 5) линейная регрессия;
6) экспоненциальная регрессия; 7) квадратичная регрессия. Для каждой кривой (поверхности) рассчитать остаточную дисперсию. Посмотреть, в каком случае она будет минимальной.

Решение.1. Полиномиальная регрессия представляется в виде . Дисперсия для нее рассчитывается как .

Для определения коэффициентов ai, при которых отклонение будет минимальным, необходимо по каждому из них взять производную:

и приравнять ее к нулю для получения системы уравнений:

Для решения задачи в MathCAD сначала требуется задать векторы точек:

Затем определить количество точек и степень полинома.

Коэффициенты левой и правой частей системы уравнений вычисляются в двойном цикле.

Решается система уравнений.

Теперь задается полином.

Далее строится график и рассчитывается остаточная дисперсия.

Формула для расчета остаточной дисперсии для всех случаев на плоскости будет одинаковой.

2. Гиперболическая регрессия представляется в виде . Реализовать самостоятельно.

3. Построение уравнения степенной регрессии выполняется в новом документе. Сначала, как в первом случае, задаются векторы точек и вычисляется их количество.

Степенная регрессия представляется в виде . Для нее дисперсия рассчитывается по формуле , которая получается логарифмированием обеих частей.

Если взять производные по коэффициентам и приравнять их к нулю, получится система уравнений:

ее коэффициенты в MathCAD вычисляются по формулам:

.

Решается система уравнений.

В результате решения системы были найдены величины ln(a0) и a1, поэтому необходимо посчитать значение a0:

,

теперь можно посмотреть найденные величины:

Задается степенная функция.

Строится график и рассчитывается остаточная дисперсия.

4. Показательная регрессия представляется в виде . Реализовать самостоятельно.

5. Линейная регрессия в пространстве представляется в виде . Дисперсия для нее вычисляется по формуле . Для определения коэффициентов ai берутся частные производные:

которые приравниваются к нулю. Получается система уравнений:

Исходные данные для построения поверхности задаются в виде векторов и определяется количество точек.

Коэффициенты системы в MathCAD вычисляются по формулам:

.

Теперь решается система уравнений и выводятся найденные величины.

Далее задается уравнение поверхности.

Строится ее график. На панели Graph нажимается клавиша и внизу появившегося шаблона пишется Z. График можно вращать, водя по нему указатель мыши при нажатой левой клавише.

И, наконец, находится остаточная дисперсия.

6. Экспоненциальная регрессия представляется в виде . Формула дисперсии получается логарифмированием обеих частей и суммированием по всем точкам:

Снова берутся производные по коэффициентам ai и приравниваются к нулю:

Снова задаются исходные данные для построения поверхности и количество точек.

В MathCAD коэффициенты этой системы вычисляются по формулам:

.

Потом решается система:

В результате решения системы были найдены величины ln(a0), a1, a2; поэтому необходимо посчитать значение a0:

Теперь можно посмотреть найденные величины.

Задается уравнение поверхности.

.

Рассчитывается остаточная дисперсия:

7. Квадратичная регрессия для двух переменных представляется в виде: . Реализовать самостоятельно.


 

Предыдущая статья:Лабораторная работа №2 Решение системы нелинейных уравнений Следующая статья:Лабораторная работа № 4 Разложение функций в ряд Фурье пополиномам Лежандра
page speed (0.0137 sec, direct)