Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Математика

Лабораторная работа № 1 Обращение матриц  Просмотрен 232

 

Задача.1. Данную квадратную матрицу A разбить на произведение двух треугольных матриц T1 и T2. 2. Для каждой из полученных матриц (T1 и T2) найти обращенную (T1-1 и T2-1соответственно), т.е. такую, чтобы произведение исходной матрицы и обращенной давало единичную (например, T1*T1-1=E). Произведение обращенных матриц должно давать обращенную матрицу
A (T2-1*T1-1=A-1). т.е. необходимо посчитать A-1, перемножив T1-1 и T2-1,и посчитать A-1 с помощью функций MathCAD. Результаты сравнить.

Решение.1. Задается исходная матрица A и треугольные матрицы T1 и T2, т.к. в матрицах T1 и T2 коэффициенты неизвестны, то необходимо указать, что эти матрицы зависят от коэффициентов. C клавиатуры вводится имя матрицы, знак присваивания вводится нажатием клавиши на панели Evaluation или клавишей “:”, матрица вводится нажатием клавиши на панели Matrix.Количество строк и столбцов задается равным 4. Ввод нижнего индекса осуществляется с помощью клавиатуры следующим образом: нажимается клавиша “[”, вводится индекс, заканчивается ввод нажатием клавиши “→”. (Нумерация элементов матриц и векторов в MathCAD начинается с нуля).

Теперь выражаются формулы для расчета элементов треугольных матриц. Для этого необходимо посчитать произведение T1 и T2в символьном (аналитическом) виде. Ниже введенных матриц выводится это произведение. С клавиатуры вводится выражение T1(b)*T2(b), вводится оператор символьного вывода нажатием клавиши на панели Symbolic, нажимается “Enter”.

Далее из уравнения T1(b)*T2(b)=A каждый элемент полученного символьного произведения матриц должен быть равен соответствующему элементу матрицы A. Например, для нулевого столбца необходимо реализовать цикл i от 0 до 3, и всем присвоить bi,0=ai,0. Это действие выполняется в столбик. С клавиатуры вводится имя циклически изменяемой переменной, знак присваивания, пределы изменения нажатием клавиши на панели Matrix. Ниже операция присваивания. Для проверки можно вывести значения найденных величин. Знак численного вывода вводится клавишей на панели Evaluation.

Аналогичным образом вычислить самостоятельно значения остальных коэффициентов для:

j от 1 до 3 b0,j:=A0,j/b0,0 в нулевой строке;

i от 1 до 3 bi,1:= Ai,1-bi,0*b0,1 в первом столбце;

j от 2 до 3 b1,j:= (A1,j-b1,0*b0,j)/ b1,1 в первой строке;

i от 2 до 3 bi,2:= Ai,2-bi,0*b0,2-bi,1*b1,2 во втором столбце;

b2,3:= (A2,3-b2,0*b0,3-b2,1*b1,3)/ b2,2 ; b3,3:= A3,3- b3,k*bk,3.

Скобки можно ввести c клавиатуры или клавишей на панели Calculator. Операция суммирования вводится клавишей на палении Calculus. Теперь производится вывод треугольных матриц и проверка правильности нахождения их элементов.

Если произведение получилось равным исходной матрице A, то элементы найдены верно.

2. Обращение матрицы T1. Вводится новая матрица TT1.

.

Производится символьное умножение.

Вычисляются коэффициенты обращенной матрицы сначала на главной диагонали затем вниз от нее:

1) для i от 0 до 3 ti,i=1/bi,I ;

2) для i от 1 до 3 ti,i-1=-ti-1,i-1*bi,i-1/bi,I ;

3) для i от 2 до 3 ti,i-2=-(ti-2,i-2*bi,i-2+ti-1,i-2*bi,i-1)/bi,I ;

4) t3,0= -( b 3,k*t k,0)/b3,3 .

Проверка правильности вычислений.

Матрицу T2 обратить самостоятельно. Обращенную матрицу представить в виде

Если символьно перемножить T2 и TT2, получится матрица вида (при выполнении работы не выводить):

.

Из условия, что все ее элементы, лежащие выше главной диагонали, должны быть равны нулю, и, зная все коэффициенты bi,j, вывести формулы для нахождения неизвестных коэффициентов tij. Использовать циклы и знак суммирования.

Для обращения матрицы с помощью MathCAD на свободном месте документа вводится имя матрицы, знак обращения клавишей на панели Matrix, и знак численного вывода.


Предыдущая статья:Метод Зейделя Следующая статья:Лабораторная работа №2 Решение системы нелинейных уравнений
page speed (0.0424 sec, direct)