Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Математика

Метод Якоби  Просмотрен 242

Чтобы решить систему

(5.10)

методом простой итерации, необходимо привести ее к виду

. (5.11)

После того, как мы выяснили, каким условиям должна удовлетворять матрица для сходимости метода, следует выяснить как привести систему (5.10) к виду (5.11), чтобы это условие сходимости выполнялось.

Представим матрицу системы (5.10) в виде:

,

где диагональная, и – левая и правая строго треугольные (т.е. с нулевой диагональю) матрицы. Тогда система (5.10) может быть записана в виде:

.

Если на диагонали исходной матрицы нет нулей, то эквивалентной (5.10) задачей вида (5.11) будет

, (5.12)

т. е.

, .

Метод простых итераций, основанный на таком приведении системы (5.10) к виду (5.11), называется метод Якоби . Тогда последовательность приближений по методу простой итерации имеет вид:

.

Здесь – обратная к матрице диагональная матрица

, ,

поэтому представление системы в виде (5.12) равнозначно выражению диагональных неизвестных:

;

;

.

Теперь для записи итерационного процесса в развернутом виде следует расставить номера итераций:

;

; (5.13)

.

Достаточный признак сходимости метода Якоби к решению системы (5.10) сформулирован в следующей теореме.

Теорема. В случае диагонального преобладания в матрице системы (5.10) метод Якоби (5.13) сходится.

Диагональное преобладание означает, что: .

Тогда в матрице

,

сумма модулей элементов в любой строке меньше единицы , следовательно, одна из норм (по крайне мере одна) матрицы меньше единицы, т. е. метод Якоби сходится.

 

Предыдущая статья:Итерационные методы Следующая статья:Метод Зейделя
page speed (0.0657 sec, direct)