Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Математика

Решение СЛАУ с помощью LU – разложения  Просмотрен 297

Если матрица исходной системы уравнений

(5.2)

разложена на произведение двух треугольных матриц или , значит можно записать эквивалентное уравнение

.

Введем в рассмотрение матрицу-столбец промежуточных неизвестных:

,

тогда решение системы с исходной матрицей (5.2) сводится к решению системы двух матричных уравнений:

каждое из которых имеет треугольную матрицу. Решая последовательно вначале систему , находим вектор вспомогательных переменных, затем решаем систему и находим , как если бы выполняли обратный ход метода Гаусса.

Получим формулы для вспомогательных неизвестных :

, ,

, ;

, ;

. (5.3)

Решаем систему , получим:

; (5.4)

. (5.5)

Отметим, что выполнение расчетов по формулам (5.3,5.5) представляет собой преобразование системы (5.2) к треугольной системе (5.4), которая полностью совпадает с результатом прямого хода метода Гаусса. Таким образом, решение линейных систем с помощью LU-разложения является просто другой реализацией метода Гаусса. Схему LU-разложения еще называют схемой Холецкого (1875-1918 – французский математик-геодезист). Однако в применяемых математических пакетах, таких как MathCad, схемой Холецкого называют метод решения систем с симметричной матрицей (метод квадратного корня).

При решении систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами с использованием компьютера происходит подмена арифметики действительных чисел машинной арифметикой, т. е. действия совершаются с усеченными до определенного количества разрядов числами. Практически всегда вместо точного решения СЛАУ прямой метод дает приближенное решение . Рассмотрим разность

,

где вектор невязок. По малости полученных невязок или нормы вектора можно судить о близости в некотором смысле найденного решения к точному решению .

 

Предыдущая статья:Разложение матрицы на произведение двух треугольных матриц Следующая статья:Итерационные методы
page speed (0.0162 sec, direct)