Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Математика

Разложение матрицы на произведение двух треугольных матриц  Просмотрен 1453

Матрица называется нижней треугольной, если элементы, стоящие выше ее главной диагонали, равны нулю: если :

, .

Матрица называется верхней треугольной, если элементы, стоящие ниже ее главной диагонали, равны нулю: .

Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов .

Обратная матрица неособенной треугольной матрицы также треугольная матрица того же ранга и структуры. Матрица, обратная к левой треугольной, является левой треугольной, обратная к правой – правой треугольной.

Например, возьмем нижнюю треугольную матрицу:

, .

Выпишем алгебраические дополнения элементов:

тогда обратная матрица будет:

,

т. е. – алгебраические дополнения ненулевых элементов строго нижней треугольной матрицы равны нулю:

; .

Теорема. Если квадратная матрица имеет отличные от нуля главные миноры , ,…, и т. д., то ее можно разложить на произведение двух треугольных матриц (верхней и нижней). Это разложение будет единственным, если задать диагональные элементы одной из матриц отличными от нуля, например, положить их равными единице.

Пусть , будем рассматривать вывод формул на примере матриц четвертого порядка:

; .

Перемножаем матрицы:

,

приравниваем соответствующие элементы матриц

.

Последовательно решая одночленные, двучленные и т.д. уравнения получим

, , , ;

, ;

, … ;

, ;

.

Таким образом, для матриц порядка , получим формулы общего вида:

, – элементы матрицы ;

, – элементы матрицы .

Такое разложение матриц на две треугольные называется LU – разложение (от английского left – right).

При практическом разложении нужно иметь в виду, что поскольку в формулах для матрицы выполняется деление на диагональные элементы , то удобнее делать проверку на равенство нулю этих элементов, вместо проверки на равенство нулю главных миноров.

Отметим, что для матриц с диагональным преобладанием, для которых верно

,

условия теоремы о LU – разложении заведомо выполняются.

Обратим матрицу, которая представлена произведением двух треугольных: ; ;

; ;

.

Приравнивая элементы произведения соответствующим элементам единичной матрицы , получим

, , ;

, .

Аналогично обращается матрица .

Предыдущая статья:Обращение матриц разбиением на клетки Следующая статья:Решение СЛАУ с помощью LU – разложения
page speed (0.0128 sec, direct)