Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Математика

Решение систем линейных уравнений матричным способом  Просмотрен 135

Рассмотрим квадратную систему линейных уравнений с неизвестными:

(5.1)

Определим основную матрицу системы , как матрицу, образованную из коэффициентов при неизвестных, матрицу-столбец и матрицу- столбец неизвестных :

, , .

Всякую систему линейных уравнений (5.1) можно записать в матричном виде:

.

Если – матричное уравнение с квадратной матрицей, определитель которой не равен нулю, тогда решение можно найти в виде

.

Всякая система линейных уравнений с определителем основной матрицы, не равным нулю, имеет единственное решение.

На практике эффективность решения системы (5.1) зависит от свойств матрицы . Например, при большой размерности системы использование формул Крамера для нахождения неизвестных становится труднореализуемым, т. к. для вычисления определителя порядка требуется умножений. Факториальный рост количества арифметических операций с увеличением размерности задачи – очень быстрый рост – называют “проклятием размерности”. По тем же причинам обращение матрицы через алгебраические дополнения практически непригодно.

Рассмотрим для начала прямые методы решения систем, которые достаточно просты и универсальны. Существенным недостатком прямых методов является накапливание погрешностей в процессе вычислений, которые на любом этапе используют результаты предыдущих операций.

При использовании итерационных методов погрешности не накапливаются, т. к. точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных вычислений. Итерационные методы предпочтительнее в случае большого числа уравнений и плохо обусловленных систем.

Системы уравнений называются плохо обусловленными, если малые погрешности вычислений или исходных данных могут привести к существенным погрешностям в решении, например, когда определитель системы близок к нулю.

Предыдущая статья:Матрицы и действия над ними Следующая статья:Норма матрицы
page speed (0.0136 sec, direct)