Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Математика

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка  Просмотрен 101

Дифференциальное уравнение вида

(22)

где p(x), q(x) – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Отличительной особенностью линейного уравнения (22) является
то, что искомая функция yи ее первая производная входят в уравнениелинейно – в первых степенях и не перемножаются между собой.

Для решения уравнения (22) воспользуемся способом подстановки. Будем искать неизвестную функцию y в виде произведения двух тоже пока неизвестных функций: положим y= u(x)v(x). Тогда Подставивзначения yи в уравнение (22), получим:

(23)

Если выбрать v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль, т. е.

, (24)

то для второй функции u(x) из равенства (23) получится уравнение

(25)

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения (22) сводится к решению двух уравнений (24) и (25), каждое из которых является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Общее решение уравнения (22) есть произведение какого-либо частного решения уравнения (24) и общего решения уравнения (25):

(26)

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения

которое удовлетворяет условию (задача Коши).

Решение. Разделив все члены уравнения на х, перепишем уравнение
в виде Сравнивая его с уравнением (22), убеждаемся, что оноявляется линейным дифференциальным уравнением.

Положим y= u(x)v(x), тогда Подставив yи в уравнение, получим:

(*)

Найдем функцию v, решая уравнение

(в данном случае удобно использовать логарифмическую константу интегрирования, положив ).

Из последнего уравнения следует: – общее решение, а при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .

Подставив найденную функцию в уравнение (*), получим уравнение для функции u: . Найдем функцию – общее решениеэтого уравнения:

.

Общим решением исходного уравнения является функция

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию Для этого подставим в общее решение вместо x, yчисла соответственно:

Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (решение задачи Коши):

Ответ:

Предыдущая статья:Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Следующая статья:Однородные уравнения
page speed (0.015 sec, direct)