Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Математика

Симметрические линейные преобразования  Просмотрен 156

ГЛАВА 8

Симметрические линейные преобразования

Основные определения

Пусть линейное преобразование евклидова пространства .

Определение 8.1. Линейное преобразование называют сопряженным по отношению к , если для любых векторов и , справедливо равенство: , где скалярное произведение векторов.

Выберем в какой-нибудь ортонормированный базис и пусть в этом базисе преобразованию соответствует матрица (матрица преобразования).

Покажем, что преобразованию соответствует в том же базисе матрица .

Скалярное произведение , а в матричном виде , где , /

Тогда, т. к., и , , то по свойствам операции транспонирования , отсюда преобразованию соответствует матрица .

Можно доказать обратное: любой симметрической матрице соответствует самосопряженное преобразование.

 

Определение 8.2. Линейное преобразование называется самосопряженным, если оно совпадает со своим сопряженным преобразованием , т, е., .

Из определения следует, что в любом ортонормированном базисе матрица самосопряженного преобразования является симметрической матрицей, т.е. .

Можно сформулировать обратное: любой симметрической матрице соответствует самосопряженное преобразование.

Предыдущая статья:Дискретное преобразование Фурье Следующая статья:Собственные числа и собственные векторы самосопряженного преобразования
page speed (0.0401 sec, direct)