Приближение функций   185

Лабораторная работа 6

 

При решении ряда задач требуется восстановить функцию y=f(x) для произвольного значения x на отрезке [a,b], если известны ее значения в некотором конечном числе точек этого отрезка (найденных, например, математически или в результате каких-либо наблюдений в результате эксперимента).

Данная задача решается путем аппроксимации.

Слово «аппроксимация» означает «приближение».

 

Пусть известные значения некоторой функции y=f(x) образуют на отрезке [a,b] следующую табличную функцию:

			...
			...

 

где .

Требуется построить интерполянту - функцию F(x), совпадающую с f(x) в точках x_i:

Кривая, которая точно проходит через эти узлы, называется интерполяционной кривой (функцией-интерполянтой).

Нахождение функции-интерполянты F(x) называют интерполяцией, интерполяцией также называется отыскание промежуточного значения функции на отрезке [х₀, х_N].

Точки x₀, x₁,... , x_N называют узлами интерполяции.

Величины называют шагами табличной функции.

Если функция определена и непрерывна на [y₁, y₂], ее интерполяционные узлы расположены на [х₁, х₂], а точка x Ï [х₁, х₂] или f(x) Ï [y₁, y₂], то тогда говорят о задаче экстраполирования функции.

Основная цель интерполяции - получить быстрый алгоритм вычисления значений F(x) для xÎ[a,b], не содержащихся в таблице.

Кубическим сплайном называется функция g(x), обладающая следующими свойствами:

1) g(x)Î C²[a,b]

2) на любом отрезке функция g(x) является полиномом третьей степени,

3)

4) g''(a)=g''(b)=0.