Всего на сайте:
248 тыс. 773 статей

Главная | Математика

Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений  Просмотрен 171

Лабораторная работа 5

 

Теоретические положения.

 

Нелинейное алгебраическое уравнение с одной переменной в общем случае может быть записано в виде

 

f(x) = 0, (1)

 

где функция f(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале a < x < b.

Всякое значение x Î [a, b], обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. когда f(x) = 0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x). Число x называется корнем k-й кратности, если при x = x вместе с функцией f(x) равны нулю и ее производные до порядка (k - 1) включительно:

 

f(x) = f'(x) = ... = f(л - 1)(x) = 0.

Однократный корень называется простым.

Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические (рациональные, дробно-рациональные, иррациональные), когда функция f(x) в формуле (1) является алгебраической, и трансцендентные (тригонометрические, показательные, логарифмические и гиперболические) в противном случае. Большинство алгебраических и трансцендентных нелинейных уравнений вида (1) аналитически (т.е. точно) не решается.

Систему, в которую входят уравнения, являющиеся нелинейными относительно неизвестного вектора , называют системой нелинейных уравнений, и ее можно записать в векторной форме

где .

Решение уравнения f(x)=0 и системы уравнений F(x)=0 состоит из двух этапов:

1) Отделение корней, то есть отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен ровно один корень уравнения или системы уравнений. Можно утверждать, что если F(х) имеет корни, то существует -окрестность, содержащая только один простой корень. Такой корень иногда называют изолированным.

2) Вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью.

В дальнейшем, при описании методов будем полагать, что корни уже отделены.

 

Предыдущая статья:Сумма по строке или столбцу не должна превышать 1. Следующая статья:Метод дихотомии решения нелинейного уравнения
page speed (0.015 sec, direct)