Решение.. Разложим левую часть данного уравнения на множители, для этого перепиш..   628

Разложим левую часть данного уравнения на множители, для этого перепишем уравнение в следующем виде: 2х² - 3ху + 8ху – 12у² = 28.

Применяя способ группировки, получим (2х – 3у)(х + 4у) = 28. Так как х, у – натуральные числа, то (х + 4у)ÎN и х + 4у ³ 4, тогда возможны следующие случаи:

1)ì 2х – 3у = 1

í

îх + 4у = 28

(8; 5);

2)ì 2х – 3у = 4

í

îх + 4у = 7

решений в натуральных числах нет;

3)ì 2х – 3у = 1

í

îх + 4у = 28

решений в натуральных числах нет.

Ответ.

(8; 5).

Задача 10.

Решите в целых числах 2ху = х² + 2у.

Решение.

Перепишем уравнение в следующем виде х² - 2ху + 2у = 0. Данное уравнение также решается методом разложения на множители, однако, с помощью формулы разности квадратов или способа группировки мы не сможем разложить на множители левую часть этого уравнения, поэтому целесообразнее использовать метод выделения полного квадрата.

(х² - 2ху + у²) - у² + 2у – 1 + 1 = 0, (х – у)² - (у – 1)² =-1.

(х – у – у + 1)(х – у + у – 1) = -1, (х – 2у + 1)(х – 1) = -1.

Решение этого уравнения сводится к решению следующих систем:

ì х – 2у + 1= -1илиìх – 1= -1

í í

î х – 1= 1 î х – 2у + 1= 1

(2; 2) решений в нат. числах нет

Ответ.

(2; 2)

Итак, из рассмотренных выше уравнений можно сделать вывод, что при решении уравнений методом разложения на множители применяются: формулы сокращённого умножения, способ группировки, метод выделения полного квадрата.

Теперь рассмотрим более сложные уравнения.