ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 3 страница   222

Принцип Гурвица. Этот принцип является упрощенным вариантом принципа Байеса - Лапласа. Если известны вероят­ности отдельных состояний, то берут среднее арифметичес­кое результатов при наилучшем решении. Иногда, если суще­ствует возможность определить вес наихудшего и наилучшего решений, то используют их взвешенную среднюю арифмети­ческую.

Проиллюстрируем применение данного принципа на приме­ре строительства предприятий при четырех разных состояниях природы и наличии четырех разных типов предприятий.

Задача 6.2. Имеются определенные средства на возведение предприятий. Необходимо наиболее эффективно использовать капиталовложения с учетом климатических условий, подъезд­ных путей, расходов по перевозкам и т.д. Сочетание этих фак­торов по влиянию на эффективность капиталовложений можно разбить на четыре состояния природы B₁, В₂, В₃, В₄. Типы предприятий обозначим А₁, А₂, А₃, А₄. Эффективность строи­тельства определяется как процент прироста дохода по отно­шению к сумме капитальных вложений. Информацию, отража­ющую постановку задачи, представим в табл. 6.2.

Таблица 6.2

 

Варианты решений

1. Решение по принципу стратегических игр, по принципу максимина: = 4 . Нужно строить предприятие А₃.

Изменим условия задачи и предположим, что в табл. 6.2 отражены затраты на строительство предприятий, тогда выбор типа предприятий следует осуществить по принципу минимакса: =9. Нужно строить предприятие А₁ или А₄.

2. Решение по принципу Гурвица.

Если известны все вероятности, определяющие состояния природы, сделаем выбор с помощью среднего арифметического лучшего и худшего результатов.

Согласно табл. 6.2 это будет рекомендация строить предпри­ятие А₂, обеспечивающее максимальную среднюю эффективность Ф = = 8.

3. Применим принцип Байеса при равных вероятностях со­стояний природы Р(В₁)=Р(В₂)=Р(В₃)=Р(В₄)=1/4. Определим рентабельность, соответствующую решению А₁, т. е. М₁:

Далее определяем М₂, М₃, и М₄.

Выводы. Предполагая, что все вероятности состояний при­роды равны, следует строить предприятие А₃, так как M₃ = 7,5 = max (M₁, M₂, M₃, M₄). Отметим, что принцип Байеса-Лапласа имеет смысл применять, если возможно оценить веро­ятности отдельных состояний природы. При этом необходимо, чтобы решения также повторялись многократно.

Когда события повторяются многократно, действует закон больших чисел, согласно которому достигается максимальный средний результат.

При единичных решениях принцип Байеса - Лапласа не следует применять.

Принцип Гурвица фактически является упрощением байесов­ских оценок. Гурвиц допускает, в частности, при отсутствии информации о вероятностях возникновения отдельных состоя­ний природы брать среднее арифметическое значение результа­тов наилучшего и наихудшего решений.

6.2.2. МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

При применении теории статистических игр на предприятии, в фирме бывает возможным получить дополнительную статис­тическую информацию, которая позволяет перейти от стратеги­ческой к статистической игре с природой. Очень часто при воз­можности многократного повторения как состояний природы, так и решений статистика мы можем принимать минимаксные бай­есовские решения.

Для макроэкономических задач значительно реже удается получать информацию о состояниях природы.

Кроме того, имея распределение вероятностей ее состояний, мы не всегда можем этой информацией воспользоваться. Принятие решения может носить одноразовый характер. В этой ситуации наилучшая бай­есовская стратегия при многократном принятии решения утра­чивает свои оптимизационные свойства.

Задачи, решаемые в условиях неопределенности, имеющие характер игры с природой, делятся на два типа:

1) в условиях полной неопределенности, когда отсутствует возможность получения дополнительной статистической инфор­мации о состояниях природы; основной моделью при этом слу­жит стратегическая игра (W, A, L), которая не преобразуется в статистическую;

2) в условиях риска, если существует возможность сбора до­полнительной статистической информации о распределении со­стояний природы; эти задачи можно преобразовать к статисти­ческой игре (W, D, R), в которой функции риска рассматривают­ся как платежи.

Рассмотрим практический пример.

Задача 6.3. Получение лицензии на новую продукцию.

Требуется выбрать лучшую лицензию на выпуск легкового автомобиля у иностранных фирм. Имеются четыре предложения, следовательно, множество решении А = {а₁, а₂, а₃, а₄}, где а₁ -решение о покупке лицензии у инофирмы A_i (i = ).

Фирмы требуют неодинаковые суммы за лицензии в зависи­мости от различных затрат на организацию производства и из­держек эксплуатации.

Известно, что основным требованиям владельцев автомоби­лей (эстетика, количество мест в салоне, скорость) удовлетворяют все четыре фирмы. В результате главным критерием являют­ся затраты, связанные со сделкой.

Пусть на основе экономического расчета вычислена эффек­тивность покупки каждой из четырех лицензий. Эта эффектив­ность зависит от длительности периода, в течение которого мож­но будет выпускать автомобили по лицензии, учитывая уровень их рентабельности и соответствия последним достижениям на­уки и техники в области автомобилестроения. Множество состо­яний природы , где Q₁, Q₂ - рентабельность и со­ответствие техническому уровню выпущенных по приобретен­ной лицензии первого и второго автомобилей, достигаемые со­ответственно через 15 и 25 лет.

Представим формулу экономической эффективности:

где У - продажная цена автомобиля;

С - себестоимость;

W- выигрыш игрока 1, в данном случае статистика, представляю­щего автомобильную промышленность.

Отразим в табл. 6.3 полученные значения эффективности W(Q, a).

Таблица 6.3.

 

О стратегиях природы нет информации, и ее невозможно получить.

Решение нужно найти при полной неопределенности, так как нет данных для перехода от стратегической игры к статистической.

Применим максиминный критерий Вальда.

Для этого перепишем табл. 6.3 и найдем минимальные зна­чения по строке и максимальные - по столбцу. Это определит матрицу игры (табл. 6.4).

Таблица 6.4

 

Матрица игры (W, A, W) имеет седловую точку, равную 22 %, поскольку

Итак, оптимальной нерандомизированной максиминной стра­тегией статистика (игрока 1), представляющего интересы авто­мобильной промышленности, будет решение а₂, что соответствует покупке лицензии у фирмы А₂ на производство легкового авто­мобиля.

Это наиболее осторожная стратегия в игре с природой при отсутствии дополнительной статистической информации. При этом в качестве функций платежей была принята эффективность сделки W(Q , a) = 22.

Глава 7 ИНВЕСТИЦИОННЫЕ РЕШЕНИЯ

7.1. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ВАРИАНТА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ ПРИ СТРОИТЕЛЬСТВЕ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ

Задача 7.1. Необходимо построить в регионе электростанцию большой мощности. В данном регионе имеются возможности:

• а₁ - построение большого водохранилища и гидроэлектро­станции;

• a₂ - сооружение тепловой электростанции на основном (газовом) топливе и резервном (мазуте);

• a₃ - сооружение атомной электростанции.

Возможные решения А = {а₁, а₂, а₃}. Экономическая эффек­тивность каждого варианта рассчитана проектным институтом, который учитывал затраты на строительство и эксплуатацион­ные расходы.

На эксплуатационные расходы гидроэлектростанции влияют климатические условия, например, такие, как погодные условия, определяющие уровень воды в водохранилищах.

Большое число случайных факторов воздействует на эконо­мическую эффективность тепловой станции: цены на мазут и газ, срывы поставок мазута из-за неритмичности работы транспорта в зимнее время, особенно во время снегопадов и продолжитель­ных морозов.

Экономическая эффективность атомной электростанции бу­дет зависеть от больших затрат на строительство и устойчивости агрегатов и системы управления во время эксплуатации.

Таким образом, погодные условия будут в основном сказы­ваться на расходах по эксплуатации гидроэлектростанции и теп­ловой электростанции. Следовательно, на эффективность тепло­вой электростанции будут влиять как погодные условия, так и цены на газ и мазут.

Случайные факторы, от которых зависит экономическая эф­фективность вариантов капиталовложении, объединим в четыре возможных состояния природы - W = (Q₁, Q₂, Q₃, Q₄) с учетом окупаемости:

Q₁ - цены на газ и мазут низкие и климатические условия благоприятные;

Q₂ - цены на газ и мазут высокие и климатические условия благоприятные;

Q₃ - цены на газ и мазут низкие и климатические условия неблагоприятные;

Q₄ - цены на газ и мазут высокие и климатические условия неблагоприятные.

Решение. Представим в табл. 7.1 полученные расчеты эф­фективности W(Q, a).

Таблица 7.1

 

В стратегической игре (W, A, W) игрок 1 - статистик, а игрок 2 - природа.

Матрица игры имеет седловую точку, равную 30 ед.:

Если бы не было дополнительной статистической информа­ции, то на этом игра закончилась бы решением a₃ - строить атом­ную электростанцию. Это было бы осторожным решением.

С помощью имеющихся временных рядов можно получить апостериорную информацию, поскольку о влиянии на цены за газ, мазут таких состоянии, как наводнения, засухи, морозы, сильные снегопады и т.п., существует статистическая информация.

По данным многолетней статистики цен и состояний получе­ны оценки апостериорного распределения состояний природы. Данные непосредственного наблюдения состояний природы по­зволили получить апостериорное распределение состояний при­роды:

P(Q₁) = 0,15; Р(Q₃) = 0,20;

P(Q₂) = 0,30; P(Q₄) = 0,35.

Имея апостериорное распределение состояний природы, мож­но преобразовать стратегическую игру (W, A, W) в статистичес­кую, в которой платеж игроку (статистику) будет определен как математическое ожидание в данном распределении состояний природы M[W(Q, a)].

Математическое ожидание максимизирует оптимальная бай­есовская стратегия статистика, что эквивалентно минимизации байесовского риска в статистической игре, в которой функция потерь L(Q, a) = -W(Q, a).

Для отдельных решений получим математические ожидания M[W(Q, a)]:

M[W(Q, a₁)] = 50*0,15 + 50*0,30 + 25*0,20 + 25*0,35 = 36,25;

M[W(Q, а₂)] = 40*0,15 + 25*0,30 + 35*0,20 + 20*0,35 = 27,50;

M[W(Q, a₃)]=30*0,15+30*0,30+30*0,20+30*0,3 5=30,00;

max M[W(Q, a)]=M[W(Q, a₁)]=36,25.

Вывод. Оптимальным решением будет инвестирование средств в проект а₁ - строительство гидроэлектростанции.

 

7.2. ИНВЕСТИЦИИ В РАЗРАБОТКУ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ

Задача 7.2. Разведка недр в регионе показала наличие место­рождений серы. Требуется решить, разрабатывать месторождение, т.

е. инвестировать строительство комплекса (а₁), или воздержать­ся (a₂). Таким образом, множество решений А= {а₁, а₂}. Прове­денные геологические исследования позволили открыть месторож­дение, но не дали ответа, строить или не строить комплекс.

Состоянием природы в данном случае будет глубина залега­ния, так как истинное залегание пластов неизвестно. Если глу­бина небольшая, то экономическая эффективность разработки будет высокой. Если глубина большая, то эффективность может оказаться низкой и добыча серы может не окупиться.

Введем обозначения для состояний природы:

Q₁ - месторождение находится на глубине, благоприятной для разработки;

Q₂ - месторождение находится как на малой, так и на боль­шой глубине;

Q₃ - месторождение находится в основном на большой глу­бине.

Решение. Проведем экономический расчет эффективности и результаты расчета в рублях представим в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Нулевая эффективность относится к случаю отказа от разра­ботки, a₁ = –30 означает, что разработка и добыча месторожде­ний серы не оправдают затрат, а, наоборот, приведут к убыткам в 30 тыс. руб.

Полную неопределенность можно уменьшить благодаря до­полнительной статистической информации. Тогда задача станет не стратегической, а статистической. Эту информацию можно получить, проведя сейсморазведку и поисковое бурение, что позволит более точно, чем при разведочных работах, определить среднюю глубину Залегания пластов серы, так как станут изве­стны вероятности залегания. Это несколько снизит эффектив­ность, но оправдает дополнительные затраты. По результатам дополнительных исследований получим множество

Х = {х₁, х₂, x₃},

где х₁, х₂, x₃ - малая средняя, умеренная средняя и большая средняя глубина залегания пластов соответственно.

По данным дополнительных исследований были оценены условные вероятности получения отдельных результатов х_i Î Х для соответствующих состояний природы QÎW:

От стратегической игры (W, A, W) переходим к задаче в ус­ловиях риска (W, D, R).

При этом игроком 1 будет природа, а игроком 2 - статистик. Обозначим D - множество стратегий статистика, т. е. множество функций d, отображающих множество Х во множество А.

Функцией платежей будет функция риска R(Q, d) = M[L(Q, а)], где функция потерь принимает значения L(Q, a) = –W(Q, а) (табл. 7.3).

Таблица 7.3

Составим таблицу множества возможных нерандомизирован­ных функций d (dÎD; 2³ = 8) решений при разных х_i (табл. 7.4). Рассчитаем по табл. 7.4 значения риска. Воспользуемся дан­ными вероятностей состояний природы и получим на основании функции потерь их математические ожидания, т. е. функции риска:

Таблица 7.4

 

Продолжая далее расчеты, получим таблицу значении риска.

Матрица (табл. 7.5) имеет седловую точку, равную нулю. Но это решение нельзя отнести к разумной стратегии. С учетом чрезмерной осторожности всегда предполагается принятие ре­шения a₂ - не разрабатывать месторождение, не инвестируя - не рискуешь, но и прибыли не получишь.

Таблица 7.5

Оптимальной стратегией статистика, представляющего инве­стиционную организацию, будет байесовская функция решения, которую можно оценить с использованием функции распределе­ния вероятностей залегания серы на разной глубине, полученной на основе полных, достаточно обширных геологических иссле­дований и равной: P(Q₁) = 0,2; P(Q₂) = 0,5; P(Q₃) = 0,3.

С учетом априорного распределения r(x, d) можно опреде­лить оптимальную байесовскую функцию, минимизируя риски.

Для этого вычислим все восемь значений и возьмем мини­мальное из них:

Из полученных данных заключаем, что

Итак, оптимальной байесовской стратегией статистика в ста­тистической игре (W, D, R), которая моделирует эксплуатацию месторождений, будет функция решения d₂, в которой d₂(x₁) = a₁; d₂(x₂)=a₁; d₂(x₃)=a₂.

Вывод. Инвестиции оправдывают затраты и могут дать при­быль 27,3 тыс. руб., если дополнительные исследования дали результат x₁ - малая глубина или х₂ - средняя глубина залегания серы.

Только в случае, если геологические исследования дадут результаты x₃ (в среднем глубокое залегание), нужно принять решение а₂: в связи с экономической неэффективностью разра­ботки месторождения воздержаться от его инвестирования.

Глава 8 ЗАДАЧИ ИЗ РАЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

8.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МАРШРУТОВ ГОРОДСКОГО ТРАНСПОРТА

Задача 8.1. Выбор трассы новой автобусной линии в городе. Построен за городом новый жилой микрорайон, который нужно связать с центром города. Имеем исходную стратегическую игру (W,A,L). Статистик пришел к выводу, что линию можно провести до пункта А₁, или А₂, или А₃. Решение А = {а₁, а₂, а₃}, где a₁, означает проведение трассы до А₁, а₂ - до А₂, а₃ - до А₃, причем А₁ и А₃ находятся в разных концах города. Множеством состоя­ний природы W являются Q₁, Q₂, Q₃ - состояния, когда большин­ство жителей микрорайона работает соответственно в окрестнос­ти пункта А₁, пункта А₂ и пункта А₃, находящегося в самом центре города.

Если принятое решение провести трассу не будет удовлетво­рять нужды жителей микрорайона, то транспортное предприя­тие понесет потери. Потери будут максимальными при ошибоч­ном решении проложить трассу к пункту А₃ вместо А₁ или на­оборот.

Решение. Функция L(Q, а) потерь характеризуется матри­цей (табл. 8.1).

Таблица 8.1

 

Преобразуем стратегическую игру (W, A, L) в статистичес­кую (W, D, R) при учете информации о действительном состоя­нии природы. Для этого проводится выборочный опрос жителей микрорайона. Результаты этого опроса образуют вектор

где x₁, х₂, х₃, - доля от общего числа опрошенных (не менее 50 %), которые предлагают строительство трассы до пунктов А₁, А₂, A₃ соответственно;

x₄ — любое из трех направлений не получило решающего количества голосов.

Действительные данные результата опроса показали следую­щие вероятности рекомендаций жителей (табл. 8.2) в зависимо­сти от состояний природы Q.

Таблица 8.2

 

В результате опроса получаем условные вероятности P(x₁|Q₁) = P(x₂|Q₂) = P(x₃|Q₃) = 0,7. Пусть d(x) = а - нерандомизированная функция решения, преобразующая множество Х результатов эк­сперимента в множество решений. Множество D нерандомизи­рованных решений при наличии четырех результатов экспери­мента и трех возможных решений будет иметь 3⁴ = 81 различ­ную функцию решений статистика в статистической игре с при­родой (W, D, R}. Из них мы ограничимся шестью допустимыми функциями: d₁, d₂, ... , d₆ (табл. 8.3).

Таблица 8.3

 

 

Какие же решения не вошли в допустимые? Недопустимые функции решения — это все функции dÎD, которые не ставят в соответствие хотя бы одному из результатов x₁, x₂, x₃ решение а₁, а₂, a₃ потому, что для этих функции значе­ние риска R(Q, d) будет всюду большим по сравнению с други­ми функциями решений. Результат х₄ при этом во внимание не принимается, поскольку он не отражает конструктивного пред­ложения.

Учтем полученные условные вероятности и, зная значения функций потерь, вычислим математические ожидания функций потерь, т.

е. получим функции риска для допустимых функций решений:

Из табл. 8.3 видно, что вне зависимости от х₁, х₂ х₃, х₄ реше­ние d₄ будет соответствовать решению а₁, d₅®a₂, d₆®a₃.

Объединим все полученные решения в табл. 8.4 и выпишем минимальные значения функции риска по строке и максималь­ные значения - по столбцу.

Таблица 8.4

 

Таким образом, как показывает табл. 8.4, среди нерандо­мизированных функций решений нет минимаксной функции: v₁=0<v₂=1,75. Следовательно, минимаксную функцию реше­ния надо искать во множестве D* рандомизированных функций d.

В данной статистической игре (W, D, R) в качестве оптималь­ной нужно принять минимаксную функцию решения.

Для того чтобы найти рандомизированную минимаксную функцию решения d₀, следует обратиться к линейному програм­мированию (см. приложение).

Пусть d - распределение вероятностей на множестве неран­домизированных функций решения d. Обозначим это распреде­ление h₁ = P(d₁), h₂ = P(d₂), ... , h₆ = P(d₆). Теперь обозначим через u цену расширенной статистической игры (W, D*, R) при рандо­мизации функций решений и запишем в терминах линейного про­граммирования задачу статистика, который решает ее в интере­сах транспортного предприятия.

Для этого воспользуемся данными табл. 8.4:

Преобразуем переменные, разделив h на цену игры u> 0, и введем дополнительные переменные q₇, q₈, q₉. В результате пе­рейдем от неравенств к равенствам:

при q_j > 0, j = .

Решим эту задачу линейного программирования симплексным методом (техника решения известна и здесь не излагается) и получим базисное оптимальное решение:

q₁ = q₃ = 2/7; q₂ = q₄ = q₅ = q_б = 0.

Значит, Z_max = q₁ + q₃ = 2/7 +2/7 = 4/7.

Отсюда u = l/Z_max = 2/7 = 1,75.

Перейдем к исходным переменным h_i = q_i u; i = , где h_i - вероятности, с которыми следует сочетать соответствующие нерандомизированные функции решения d_i (i = ). После пере­множения получим рандомизированные функции d:

Итак, получена минимаксная рандомизированная функция ре­шения d₀ с распределением вероятностей: P(d₁) = 1/2; P(d₃) = 1/2. Как ее охарактеризовать? Это смешанная стратегия d₀ с одина­ковыми вероятностями чистых функций решения d₁ и d₃. Они различаются только результатом статистического эксперимента.

Вывод. В задаче выбора транспортным предприятием наи­лучшей трассы маршрута новой автобусной линии получена оптимальная минимаксная функция решения:

• если по эксперименту с анкетами получен результат х₁, или x₂, или x₃, то следует принять решение а₁ или а₂, или a₃ соответ­ственно;

• если получен результат х₄, то нужно использовать механизм случайного выбора между решениями а₁ (трассу вести до А₁) и a₃ (трассу вести до А₃) с одинаковыми вероятностями, равными 0,5. Следует сделать одно важное замечание: в данном случае мы из расчетов получили одинаковые вероятности. (Это реше­ние не имеет ничего общего с принципом равновероятности, который иногда необоснованно применяется при отсутствии информации о возможных вероятностях событии.)

8.2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ

Задача 8.2. Планирование участков земли под картофель, проводимое методом Байеса. При наличии больших массивов земли в хозяйстве можно сознательно выбирать наиболее выгод­ные для урожая участки с учетом их влажности.

В период вегетации требуется определенное количество вла­ги. Если влажность будет излишняя, то часть посадочного мате­риала начнет гнить, урожай будет плохим.

Картофель в средней полосе сажают обычно в апреле. В это время трудно предвидеть, каким будет лето - сухим или влаж­ным. Фактически создается ситуация, которую можно считать игрой с природой. Мы должны принять решение, на каких уча­стках сажать картофель: на сухих или на тех, которые сами по себе являются влажными.

Введем условные обозначения:

W = {Q₁, Q₂} - множество состояний природы;

Q₁ - осадки выше нормы;

Q₂ – сухое лето (осадки не выше нормы);

А = {а₁, a₂} - множество решений статистика;

а₁ - посадку производить на участках с большой влажностью почвы;

a₂ - посадку производить на сухих участках, так как ожида­ется влажное лето.

Известны средние урожаи в зависимости от принятого реше­ния и состояния природы. При этом наименьшие урожаи быва­ют, если осадки выше нормы (Q₁), и принимается решение а₁ -сажать картофель на влажных участках.

Наибольшие урожаи в среднем бывают при решении а₂ -сажать картофель на сухих участках и при состояниях природы Q₁ - влажное лето.

Прибыль на 1 га в тыс. руб. в среднем известна по многолет­ним результатам (табл. 8.5).