ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 2 страница   223

* В скобках указаны вероятности соответствующих цен.

 

Расчет ожидаемых полных затрат (верхнее число в правой колонке, см. табл. 5.9):

10,4 = 13,1 * 0,3 +11,5 * 0,5 + 3,5 * 0,2 .

Получив из табл. 5.8 и 5.9 ожидаемую выручку и ожидае­мые затраты, комбинируем рассчитанные данные и получаем ожидаемые чистые поступления по годам в млн дол., т.е. E(NCF_t), табл. 5.10.

Таблица 5.10

Год	Ожидаемые поступле­ния	Ожидаемая выручка от продажи оборудования	Ожидаемые полные затраты	Ожидаемые чистые поступления
Первый	10,2	-	10,4	-0.2
Второй	10,2	-	10,4	-0.2
Третий	14,2	-	11,6	2.6
Четвертый	16,3	-	13,2	3.1
Пятый	16,3	3,5	13,2	6.6

 

Теперь определяем коэффициент дисконтирования, считая проект средним между рискованным и высокорискованным. С учетом данных табл. 5.6 примем премию за риск, равную 7,5 %. В результате получим приведенную стоимость проекта (табл. 5.11).

Таблица 5.11

 

Всего за 5 лет приведенная стоимость проекта составит:

-0,177 - 0,155 + 1,766 + 1,835 + 3,39 = 6,659 млн дол.

Чистая приведенная стоимость рассматриваемого j-го проек­та за это же время равна:

E{NPV_j) = 6,659 - 5,3 = 1,359 млн дол. > 0, (5.6)

где 5,3 млн дол. - затраты на приобретение оборудования по первона­чальному условию.

Вывод. Проект следует принять. Все представленные рас­четы выполнены на уровне математических ожиданий, поэтому действительный результат в отношении чистой приведенной стоимости проекта может отличаться и в ту, и в другую сторону. Тем не менее, несмотря на приближенность расчета, это обо­снование проекта, а не принятие решения «по интуиции» или просто волевое решение - без обоснования.

5.4. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ПРОЕКТА

Кроме описанного наиболее точного, но и наиболее трудоем­кого метода принятия инвестиционных решений используются другие методы, определяемые следующими критериями:

• срок окупаемости;

• прибыль на капитал;

• внутренняя норма прибыли.

Рассмотрим суть этих методов.

Срок окупаемости. Это период, в течение которого фирма вернет начальные капитальные вложения. Если срок окупаемос­ти меньше заданного нормативного срока, то проект принимает­ся. В противном случае отвергается.

Пример 5.3. Пусть для рассмотренного в разд. 5.3 инвести­ционного проекта установлен нормативный срок окупаемости капитальных вложений 3 года. Начальные капитальные вложе­ния были определены выше и равны 5,3 млн дол.

Из табл. 5.11 очевидным образом получается табл. 5.12.

Поскольку наличные капиталовложения равны 5,3 млн дол., то проект окупится, как видно из табл. 5.12., лишь через 4 года при нормативном сроке 3 года. Поэтому проект должен быть отклонен. Таким образом, использование критерия по сроку окупаемости может привести к отклонению инвестиционного проекта с положительной ожидаемой чистой стоимостью (она у нас была равна 1,359 млн дол.). Нетрудно видеть, что при других нормативных сроках освоения капитальных вложений согласно данному критерию можно также прийти к принятию проекта с отрицательной ожидаемой чистой стоимостью E(NPV_j) < 0. При­чина в том, что поступления от проекта в разные моменты вре­мени не дисконтируются. Следовательно, по этому критерию слишком большой вес придается ранним поступлениям и слиш­ком малый - более поздним. Поступления после заданного срока окупаемости не имеют ценности вообще, что противоречит здра­вому смыслу. Да и заданный нормативный срок окупаемости (в данном случае 3 года) субъективный. Если бы в данном примере был установлен срок 4 года, проект был бы принят.

Таблица 5.12

Год	Ожидаемые чистые поступления E(NCFt), млн дол. в год	Накопленные ожидае­мые чистые поступ­ления, млн дол.
Первый	-0,2	-0,2
Второй	-0,2	-0,4
Третий	2,6	2,2
Четвертый	3,1	5,3
Пятый	6,6	11,9

 

Таким образом, метод простой, но за простотой стоит очень невысокая точность результатов, что, впрочем, логично: без се­рьезных научных исследований нельзя получить достаточно на­дежных результатов.

Прибыль на капитал. Средняя прибыль на капитал инвести­ционного проекта определяется как среднегодовая прибыль, де­ленная на сумму инвестиций в проект. Принять или не принять проект, определяется сравнением прибыли проекта с заданной.

Пример 5.4. Пусть требуемая средняя норма прибыли проек­та равна 60 %. Суммарные чистые поступления от проекта составляют 11,9 млн дол. в течение 5 лет (см. табл. 5.12), т.е. сред­негодовая прибыль равна:

= 2,38 млн дол.

Инвестиции составили 5,3 млн дол., поэтому прибыль проек­та будет

* 100% = 44,9%

что меньше заданных 60 %. Таким образом, проект и по этому критерию отклоняется, хотя для него согласно формуле (5.6) положительная ожидаемая чистая стоимость E(NPV) > 0, и при более точной оценке проект должен быть принят.

В отличие от критерия по сроку окупаемости здесь, наобо­рот, слишком большой вес придается поздним поступлениям: поскольку поступления не дисконтируются, удаленные по вре­мени поступления рассматриваются как текущие, нарушается установленное выше правило, что «сегодняшние деньги дороже завтрашних».

Внутренняя норма прибыли. Суть этого критерия проиллюс­трируем на следующем примере.

Пример 5.5. Рассмотрим однопериодный инвестиционный проект:

Инвестиции, дол. ............... 100 000

Чистые поступления в конце года, дол. ....... 108 000

Норма прибыли N при этом равна:

Следовательно, для одного периода критерий, эквивалентный правилу чистой приведенной стоимости проекта, был бы такой: принять проект, если коэффициент дисконтирования (процент на капитал) r меньше 8 %. Другими словами, вместо принятия проекта с инвестициями 100 000 дол. и под прибыль r = 8 % выгоднее просто положить деньги в банк под р % годовых, если р>r.

По этой схеме работают фирмы по продаже автомашин, не­движимости в ряде западных стран. Машину можно купить в кредит под 6 % годовых, а деньги положить в банк под 9 % годовых. Здесь коэффициент дисконтирования r = 6 % < 9 %. Если бы r стал больше 9 %, состоятельные люди покупали бы машины за наличные, а часть других, возможно, не покупала бы вообще. В результате спрос на автомашины снизился бы, что было бы невыгодно производителям автомобилей. На западном рынке так обстоит дело с приобретением многих товаров и услуг, в результате значительная часть общества живет в кредит, хотя это никак не говорит об их бедности.

Глава 6 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Создателем теории статистических игр считается А. Вальд. Он показал, что в теории принятия решений статистические игры являются основным подходом, если решение принимается в ус­ловиях частичной неопределенности.

Статистические модели представляют собой игру двух лиц (человека и природы) с использованием человеком дополнитель­ной статистической информации о состояниях природы.

Она существенно отличается от антагонистической игры двух лиц с нулевой суммой, где выигрыш одного равен проигрышу другого.

В статистической игре природа не является разумным игро­ком, который стремится выбрать для себя оптимальные страте­гии. Этот игрок не заинтересован в выигрыше. Другое дело -человек, в данном случае статистик. Он имеет целью выиграть игру с воображаемым противником, т. е. с природой.

Игрок-природа не выбирает оптимальной стратегии, но ста­тистик должен стремиться к определению распределения веро­ятностей состояния природы. Следовательно, основными отли­чиями статистической игры от стратегической являются:

• отсутствие стремления к выигрышу у игрока-природы, т. е. отсутствие антагонистического противника;

• возможность второго игрока - статистика провести статис­тический эксперимент для получения дополнительной информа­ции о стратегиях природы.

Так, например, статистик, работающий в фирме «Одежда», может изучить многолетние данные о погодных условиях в местностях, где одежда будет продаваться, и в зависимости от наи­более вероятного состояния погоды выработать рекомендации, куда и какое количество партий изделий отправлять, где выгод­нее и на каком уровне провести сезонное снижение цен и т. д.

Таким образом, теория статистических решений является теорией проведения статистических наблюдений, обработки этих наблюдений и их использования.

В теории статистических решений основные правила могут быть детерминированными и рандомизированными.

В статистических играх используются понятия: риск (функ­ция риска), потери (функция потерь), решение (функция реше­ния), функции распределения при определенных условиях.

Необходимо пояснить понятие рандомизации. Это статисти­ческая процедура, в которой решение принимается случайным образом. Математическая энциклопедия это определяет более подробно: «Статистическая процедура принятия решения, в ко­торой по наблюденной реализации х случайной величины Х решение принимается с помощью розыгрыша по вероятностно­му закону, называется рандомизацией»*.

* Математическая энциклопедия. Т.4. - М.: Советская энциклопедия, 1984. - С. 865.

 

Введем условные обозначения:

В или W - множество состояний природы;

В. или Q_j - отдельное состояние природы, Q_j Î W;

А — множество действий (решений) статистика;

а - отдельное решение статистика, a Î А;

L - функция потерь. Множества W и А предполагаются чис­ленно определенными, поэтому представляется возможным ус­тановить распределение вероятностей. Если принятое статисти­ком решение a Î А и состояние природы Q Î W, то функция потерь запишется L(Q; a);

D - совокупность всех нерандомизированных (чистых) фун­кций решения;

d( ) - функция решения; - случайный вектор. Характери­стикой функции решения является функция потерь. Статистик может перед принятием одного из возможных решений провести эксперимент, который заключается в наблюдении случайной переменной х. В итоге представляется возможным получить рас­пределение этой случайной переменной в зависимости от состо­яния природы Q;

F(x|Q) - функция условного распределения случайной пере­менной х. Предполагается, что для каждого состояния природы Q известно значение функции F(x|Q);

п - объем выборки;

x_Q — множество всех выборок объема п. После получения ре­зультата эксперимента х статистик использует некоторую функ­цию решения и принимает одно из решений а Î А, когда резуль­тат эксперимента - вектор :

R — функция риска;

R(Q,d) - функция риска, определенная на прямом произведе­нии W´D множества состояний природы и множества решений.

Игра (W, A, L) - исходная стратегическая игра, соответствующая стратегической задаче принятия решения;

G = (W, D, R) - статистическая игра;

s - рандомизированная функция решения;

D* - множество случайных функций решения, s Î D*. Под­разумевается, что D Ì D*, так как чистая функция решения (не­рандомизированная) может быть рассмотрена как смешанная, ко­торая используется с вероятностью, равной 1;

G(Q) - функция априорного распределения состояний при­роды Q;

X - совокупность всех априорных распределений x Î X.

6.2. СВОЙСТВА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИГР

Функция решения, отображающая множество выборок X_Q в множество решений статистика A, называется нерандомизирован­ной (чистой) функцией решения статистика. Так, по результа­там эксперимента статистик определяет, какое решение а Î А он должен выбрать. Для выбора из множества D наилучшей функции решения он использует функцию риска.

Функция риска зависит от множества состояний природы и от множества функций решения и принимает значение, выражен­ное действительными числами. Она определяет математическое ожидание функции потерь при некотором состоянии природы Q и известной статистику функции распределения F( |Q), когда а=d( ).

Представим функцию риска:

,

где M - знак математического ожидания;

L(Q, a) - функция потерь при состоянии природы Q и d( ) = a.

В теории статистических функций любую неотрицательную функцию L, определенную прямым произведением W´D, назы­вают функцией потерь. Значение L(Q,d) функции потерь L в про­извольной точке (Q, d)Î W´D интерпретируют как ущерб, к ко­торому приводит принятие решений d, dÎD, если истинное зна­чение параметра есть Q, Q Î W.

Выражение W´D - прямое произведение множества состоя­ний природы и множества функций решения. Функция R(Q, d) не является случайной величиной, а принимается как платеж ста­тистика в его игре с природой при следующих условиях:

• состояние природы фиксировано;

• функция решений выбрана, d Î D.

Стратегическая игра (W, A, L) становится статистической, G = (W, D, R), если используется результат эксперимента - век­тор . Игра называется статистической, если в ней:

• X_Q - множество n-мерных выборок;

• D - множество функций решений, которые преобразуют X_Q в А;

• W - множество состояний природы;

• R(Q, d) - функция риска.

Статистическая игра записывается как G = (W, D, R). Данная игра является игрой двух лиц с нулевой суммой, где dÎD -функция решения статистика, а риск R(Q, d) статистика - пла­теж природе.

Статистик может не прибегать к рандомизации, если он ис­пользует как оптимальную байесовскую функцию решения r (см. разд. 6.2.1).

Рандомизация на стороне статистика проводится двумя мето­дами:

1) применение решений аÎА с определенными вероятностя­ми (смешение решений);

2) смешение чистых функций решения dÎD, т.е. рандомиза­ция функций решения.

Чаще применяется второй метод.

Распределение вероятностей d на множестве D чистых фун­кций решения d называется рандомизированной (смешанной) функцией решения статистика.

Функция риска становится случайной величиной, если экс­периментатор применяет в статистической игре случайную фун­кцию решения dÎD*, т. е. когда каждой чистой функции реше­ния dÎD приписывается вероятность, с которой она должна использоваться.

Платежом будет математическое ожидание функции потерь, взятое для некоторого состояния природы Q при распределении d, определенном на множестве чистых функций решения D:

Если статистик использует случайные функции решения dÎD*, то этим расширяется (обобщается) статистическая игра.

Расширенная статистическая игра (W, D*, R) называется так­же смешанным расширением статистической игры с рандоми­зацией на стороне статистика.

Дальнейшее расширение статистической игры может быть достигнуто при предположении, что природа также «применяет» стратегию при «выборе» своего состояния Q.

Априорное распределение вероятностей x на множестве W состояний природы означает распределение до проведения экспе­римента. Это априорное распределение xÎX состояний природы является случайной (смешанной) стратегией природы в статисти­ческой игре, где природа не рассматривается как разумный игрок.

Если Q предполагается случайной величиной с априорным распределением x, то риск R(Q,d) становится случайной пере­менной при фиксированной функции решения d. В данном слу­чае математическое ожидание риска R(Q,d) при априорном рас­пределении x, задаваемом функцией распределения G(Q), оп­ределяется как

,

где r(x,d) -байесовский риск функции решения d с учетом априорно­го распределения x.

Если в качестве оптимальной принимается байесовская фун­кция решения, то используется формула r(x,d).

Вводя рандомизацию на стороне природы, приходим к даль­нейшему расширению статистической игры.

Игра (X, D*, r) со смешанным расширением статистической игры с рандомизацией на стороне статистика и на стороне при­роды называется полностью расширенной статистической иг­рой.

Поясним в полностью расширенной статистической игре (X, D*, r) ее составляющие:

X - множество всех априорных распределений x состояний природы или множество ее смешанных стратегий;

D* - множество всех случайных функций решения;

r = r(x,d) - байесовский риск.

Представим схему расширения статистической игры (рис. 6.1). При наличии данных без учета стохастических распределений имеем исходную стратегическую игру двух лиц с нулевой сум­мой, которая относится к антагонистическим играм. Данная игра является исходной для соответствующей статистической задачи принятия решения.

Рис. 6.1. Расширение статистической игры

Если статистик (экспериментатор) не имеет возможности провести эксперимент со случайной величиной X, чтобы полу­чить ее распределение, которое зависит от состояния природы, он вынужден будет использовать только стратегическую игру (W, A, L).

Однако очень часто статистик может провести эксперимент и получить в результате вектор , которым он в состоянии вос­пользоваться при принятии решения аÎА функции d( ). В этом случае платеж L(Q, а) становится случайной величиной, а игра - статистической G(W, D, R). Стратегией статистика будет dÎD, а платежом природе от статистика станет его риск R(Q, d).

Далее у статистика остаются две альтернативы:

1) воспользоваться рандомизацией состояний природы и пе­рейти к расширенной (X, D, r) статистической игре;

2) воспользоваться рандомизацией функций решения и перей­ти к расширенной статистической игре (W, D*, R).

Наконец, если статистик применит смешанные стратегии для обоих игроков, то получит полностью расширенную статисти­ческую игру ((W, D*, r).

На практике статистик для выбора оптимальной стратегии может не производить рандомизацию, а в качестве оптимальной взять байесовскую функцию решения.

А. Вальд, создавая теорию статистических игр, опирался на созданную Д. Нейманом теорию стратегических игр, поэтому сравним далее понятия стратегических игр двух лиц с нулевой суммой и понятия статистических игр статистика с природой. Для этого укажем основные обозначения в стратегической и статистической играх:

Х - совокупности стратегий игрока 1;

Y - совокупности стратегий игрока 2;

W— платежная функция;

W(X,Y) - платеж игрока 2 игроку 1;

G == (X,Y,W) - игра игрока 1 с игроком 2;

Г = (X, Н, К) ~ смешанное расширение игры G = (X, Y,W), где X - множество всех смешанных стратегий x игрока 1;

Н - множество всех смешанных стратегий h игрока 2;

К - риск игрока 2.

Составим сравнительную таблицу задач статистических ре­шений с игрой двух лиц с нулевой суммой (табл. 6.1).

Таблица 6.1

6.2.1. ВЫБОР ФУНКЦИЙ РЕШЕНИЯ

Для всех состояний природы не существует одной наилуч­шей функции решения. От статистика требуется применение таких методов, которые дают оптимальные функции решения в более узком диапазоне.

Для этого необходимо использовать критерии оптимальности.

Статистик в статистической игре (W, D, R) или в расширен­ных статистических играх стремится к выигрышу, т. е. к опреде­лению наилучшей функции решения, при которой риск R(Q, d) был бы минимальным. Но это не просто, так как для каждого состояния природы Q имеется своя лучшая функция.

Пусть у нас имеются две различные функции решения d₁ и (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Сравнение двух функций решения

Можно выделить область, где функция d₁ будет лучшей, - в диапазоне состояний природы Q₁< Q<Q₂. Вторая функция d₂ будет лучшей для состояния природы при Q<Q₁ и при Q>Q₂.

Функция d Î D называется допустимой, если в множестве D* нет никакой другой функции решения d₀, которая была бы лучшей d для всех QÎW. Данная функция для каждого QÎW дол­жна удовлетворять неравенству R(Q,d₀) £ R(Q,d). Таким обра­зом, допустимая функция решения не будет доминирующей стра­тегией статистика в статистической игре.

Рассмотрение только допустимых функций существенно уменьшит множество D* до множества допустимых функций решения.

Отметим, что байесовские функции решения входят в класс допустимых функций.

Определение. Функция решения d₀ÎD* называется байесов­ской относительно априорного распределения xÎX состояний природы Q, если она минимизирует байесовский риск r(x, d) на множестве D*.

Таким образом, r(x, d) = r(x, d). Приведем формулу Байеса. Прежде чем ее написать, обратимся к теореме о полной вероятности [2, разд. 2.5, 2.6].

Теорема. Если событие А может наступить только при усло­вии появления одного из событий В₁, В₂, ...,B_n, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий В₁, В₂, ...,B_n на соответствующую условную вероятность собы­тия А:

где P(B_i) - вероятность события B_i;

Р(А|В_i) - условная вероятность события А в случае, если событие В_i уже произошло.

Формула Байеса используется тогда, когда событие А появля­ется совместно с каким-либо из полной группы несовместных событий В₁, В₂, ..., B_n . Событие А произошло, и требуется про­извести количественную переоценку вероятностей событий В₁, В₂, ..., B_n. При этом известны вероятности Р(В₁), Р(В₂),..., Р(B_n) до опыта (априорные). Требуется определить вероятности после опыта (апостериорные).

Апостериорные вероятности представляют собой условные вероятности Р(В₁|А), Р(В₂|А) ,..., Р(В_n|А). Вероятность совместно­го наступления событий А с любым из этих событий В_j по тео­реме умножения равна:

Эту формулу можно переписать исходя из формулы полной вероятности:

Задача 6.1. Собирается партия исправных изделий с трех предприятий. Первый завод поставляет 60 %, второй - 30 %, третий - 10 % изделий. В₁, В₂, В₃ - события, соответствующие тому, что изделия изготовлены на первом, втором и третьем предприятиях.

Вероятность исправной работы изделий первого предприя­тия равна 0,98, второго - 0,99, третьего - 0,96.

Определить вероятность того, что в собранную партию ис­правных изделий попали соответственно изделия с первого, второго и третьего предприятий.

Введем обозначения:

А - событие, заключающееся в том, что изделие исправно;

Р(А) - полная вероятность того, что изделие исправно;

Р(В₁|А), Р(В₂|А), Р(В₃|А) - условные вероятности того, что исправное изделие изготовлено соответственно на первом, вто­ром и третьем предприятиях;

Р(A|В₁), Р(A|В₂), Р(A|В₃) - условные вероятности того, что изделие, изготовленное соответственно на первом, втором и тре­тьем предприятиях, исправно;

Р(В₁), Р(В₂), Р(В₃) - вероятности того, что изделие изготов­лено соответственно на первом, втором и третьем предприятиях.

Известно: Р(А|В₁) = 0,98; Р(А|В₂) = 0,99; Р(А|В₃) = 0,96; Р(В₁) = 0,60; Р(В₂) = 0,30; Р(В₃) = 0,10.

Требуется определить Р(А); Р(В₁|А); Р(В₂|А); Р(В₃|А).

Решение. 1. Определим полную вероятность того, что из­делия, прибывшие с разных предприятии, исправны:

2. Вычислим условные вероятности того, что в партию ис­правных попали изделия с первого, второго и третьего предпри­ятии соответственно:

3. Проверим: Р(В₁|А) + Р(В₂|А) + Р(В₃|А) = 0,599 + 0,303 + + 0,098 = 1.

Вывод. По формуле Байеса количественная переоценка доли предприятии в партии исправных изделии составляет: первое предприятие имеет 59,9 %; второе - 30,3 %; третье - 9,8 %.

Остановимся на некоторых нестандартных принципах при­нятия решений.

Принцип Байеса - Лапласа. Данный принцип отступает СП-условий полной неопределенности. В нем предполагается, что возможные состояния природы могут достигаться с вероятнос­тями Р₁, P₂,..., Р_n при условии, что Р₁+ P₂+ ,...,+ Р_n =1. Байес в 1763 г. предложил считать равными вероятности отдельных состояний природы.

В 1812 г. Лаплас обобщил этот принцип на случай различ­ных вероятностей, но тем не менее говорят и о байесовском подходе. Если напомнить, что байесовские функции решения входят в класс допустимых функций, то будет понятно их широ­кое использование в практике принятия решений (см. гл. 3).