Всего на сайте:
282 тыс. 988 статей

Главная | Статистика

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 3 страница  Просмотрен 726

2.4. МАЖОРИРОВАНИЕ (ДОМИНИРОВАНИЕ) СТРАТЕГИЙ

Мажорирование представляет отношение между стратегия­ми, наличие которого во многих практических случаях дает воз­можность сократить размеры исходной платежной матрицы игры. Рассмотрим это понятие на примере матрицы

Рассуждая с позиции игрока 2, можно обнаружить преиму­щество его третьей стратегии перед второй, поскольку при пер­вой стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен —3 (вторая стратегия) и 1 (третья стратегия), а при второй стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен —2 (вторая стратегия) и - 0,5 (третья стратегия). Таким образом, при любой стратегии игрока 1 игроку 2 выгоднее применять свою третью стратегию по сравнению со второй; при наличии третьей стратегии игрок 2, если он стремится играть оптимально, никогда не будет использовать свою вторую стратегию, поэтому ее мож­но исключить из игры, т.е. в исходной платежной матрице можно вычеркнуть 2-й столбец:

С позиции игрока 1 его первая стратегия оказывается хуже второй, так как по первой стратегии он только проигрывает. Поэтому первую стратегию можно исключить, а матрицу игры преобразовать к виду:

(0 0,5).

Учитывая интересы игрока 2, следует оставить только его первую стратегию, поскольку, выбирая вторую стратегию, иг­рок 2 оказывается в проигрыше (0,5 - выигрыш игрока 1), и матрица игры принимает простейший вид: (0), т.е. имеется седловая точка.

Мажорирование можно распространить и на смешанные стра­тегии. Если элементы одной строки не все меньше (или равны) соответствующих элементов других строк, но все меньше (или равны) некоторых выпуклых линейных комбинаций соответству­ющих элементов других строк, то эту стратегию можно исклю­чить, заменив ее смешанной стратегией с соответствующими частотами использования чистых стратегий.

В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим матрицу игры:

Для первых двух чистых стратегий игрока 1 возьмем частоты их применения (вероятности) равными 0,25 и 0,75.

Третья стратегия игрока 1 мажорируется линейной выпуклой комбинацией первой и второй чистых стратегий, взятых с часто­тами 0,25 и 0,75 соответственно, т.е. смешанной стратегией:

24*0,25 + 0*0,75 = 6 > 4;

0*0,25 + 8*0,75 = 6 > 5.

Поэтому третью стратегию игрока 1 можно исключить, ис­пользуя вместо нее указанную выше смешанную стратегию.

Аналогично если каждый элемент некоторого столбца боль­ше или равен некоторой выпуклой линейной комбинации соот­ветствующих элементов некоторых других столбцов, то этот столбец можно исключить из рассмотрения (вычеркнуть из мат­рицы). Например, для матрицы

третья стратегия игрока 2 мажорируется смешанной стратегией из первой и второй его чистых стратегий, взятых с частотами 0,5 и 0,5:

10*0,5 + 0*0,5 = 5 < 6;

0*0,5 + 10*0,5 = 5 < 7.

Таким образом, исходная матрица игры эквивалентна матри­це следующего вида:

Как видно, возможности мажорирования смешанными стра­тегиями в отличие от чистых значительно менее прозрачны (нуж­но должным образом подобрать частоты применения чистых стратегий), но такие возможности есть, и ими полезно уметь пользоваться.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.2. Найдите седловые точки следующих платежных мат­риц:

Задача 2.3. Найдите для платежной матрицы:

Задача 2.4. Решите аналитически и графически, используя поня­тие доминирования, игры, определяемые следующими платежными матрицами:

Задача 2.5. Постройте платежную матрицу двухпальцевой игры Морра, которая заключается в следующем. В игру играют два челове­ка: каждый из них показывает один или два пальца и одновременно называет число пальцев, которое, по его мнению, покажет его против­ник (естественно, противник этого не видит). Если один из игроков угадывает правильно, он выигрывает сумму, равную сумме пальцев, показанных им и его противником. В противном случае - ничья (вы­игрыш равен нулю).

Найдите нижнюю и верхнюю цены игры.

Задача 2.6. Используя понятие доминирования, уменьшите разме­ры следующей платежной матрицы:

Для задач 2.7-2.12 постройте платежную матрицу игры и сформу­лируйте соответствующую модель линейного программирования.

Задача 2.7. Пусть сторона А засылает подводную лодку в один из п районов. Сторона В, располагая т противолодочными кораблями, желает обнаружить лодку противника. Вероятность обнаружения лодки в j-м районе (j = 1,...,п) равна pj. Предполагается, что обнаружение под­лодки каждым кораблем является независимым событием. Сторона В может посылать в различные регионы разное количество кораблей (рас­пределение т кораблей по регионам и есть стратегии стороны В). Сто­рона В стремится максимизировать вероятность обнаружения подлод­ки. Сторона А желает противоположного.

Вероятность обнаружения лодки в районе j, в котором находится rij кораблей (i - номер стратегии), равна:

причем . Найдите оптимальное распределение противолодоч­ных кораблей по регионам.

Рассмотреть частный случай: m = 2, п = 2, р1 = 0,6, р2 = 0,4.

Задача 2.8. Каждому из игроков выдается по бубновому и трефо­вому тузу. Игрок 1 получает также бубновую двойку, а игрок 2 - тре­фовую. При первом ходе игрок 1 выбирает и откладывает одну из своих карт, а игрок 2, не зная карты, выбранной игроком 1, также откладыва­ет одну из своих карт. Если были отложены карты одной масти, то выигрывает игрок 1, в противном случае выигравшим считается игрок 2. Если отложены две двойки, выигрыш равен нулю.

Размер выигрыша определяется картой, отложенной победителем (тузу приписывается одно очко, двойке - два).

Задача 2.9. Фирма изготавливает железобетонные панели, исполь­зуя в качестве основного сырья цемент. В связи с неопределенным спросом на изделия потребность в сырье в течение месяца также не определена. Цемент поставляется в мешках, причем известно, что по­требность может составлять D1,D2,...,Dn мешков. Резервы сырья на складе могут составлять R1,R2,...,Rn мешков в месяц. Учитывая, что удельные затраты на хранение сырья равны с1 а удельные издержки дефицитности сырья (потери, связанные с отсутствием необходимого количества цемента на складе) равны с2, определить оптимальную стра­тегию управления запасами цемента на складе.

Рассмотреть частный случаи: п = 5, c1 = 5, c2 = 3;

D = (1 500, 2 000, 2 500, 3 500, 4 000), R =(1 500, 2 000, 2 500, 3 500, 4 000).

Задача 2.10. Игрок 2 прячет некоторый ценный предмет в одном из п мест, а игрок 1 этот предмет ищет. Если он его находит, то получает сумму аi где i = 1,2, ..., п, в противном случае - не получает ничего.

Задача 2.11. Два игрока независимо друг от друга называют по одному числу из диапазона 1 - 5. Если сумма чисел нечетная, то иг­рок 2 платит игроку 1 сумму, равную максимальному из чисел; если четная, то платит игрок 1.

Задача 2.12. Два игрока имеют по п рублей и предмет ценой с > 0. Каждый игрок делает заявку в запечатанном конверте, предлагая i руб. (где i - одно из целых чисел от 0 до п) за предмет. Записавший большее число получает предмет и платит другому предложенную им сумму. Если оба игрока заявляют одинаковую сумму, то предмет назначается без компенсирующего одностороннего платежа одному из игроков путем бросания монеты, так что ожидаемая доля каждого в предмете состав­ляет в этом случае половину с. Постройте платежную матрицу игры и определите, имеет ли игра седловую точку.

Глава 3 ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И РИСКА (ИГРЫ С ПРИРОДОЙ)

3.1. ПОНЯТИЕ ИГРЫ С ПРИРОДОЙ

Ситуации, описываемые рассмотренными в гл. 2 моделями в виде стратегических игр, в экономической практике могут не в полной мере оказаться адекватными действительности, посколь­ку реализация модели предполагает многократность повторения действий (решений), предпринимаемых в похожих условиях. В реальности количество принимаемых экономических решений в неизменных условиях жестко ограничено. Нередко экономичес­кая ситуация является уникальной, и решение в условиях нео­пределенности должно приниматься однократно. Это порождает необходимость развития методов моделирования принятия реше­ний в условиях неопределенности и риска.

Традиционно следующим этапом такого развития являются игры с природой. Формально изучение игр с природой, так же как и стратегических, должно начинаться с построения платежной мат­рицы, что является, по существу, наиболее трудоемким этапом под­готовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными ус­ловиями или с природными стихийными силами).

На примере игры с природой рассмотрим проблему заготов­ки угля на зиму.

Задача 3.1. Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагает­ся, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает.

Поку­пать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долгосрочные прогнозы, состав­ляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому мо­гут использоваться в практической деятельности только как ори­ентировочные при принятии решений.

Решение. Матрица игры с природой аналогична матрице стратегической игры: А = ||аij||, где аij - выигрыш игрока 1 при реализации его чистой стратегии i и чистой стратегии j игрока 2 (i = 1, ..., m; j = 1, ..., п).

Мажорирование стратегий (см. разд. 2.4) в игре с природой имеет определенную специфику: исключать из рассмотрения можно лишь доминируемые стратегии игрока 1: если для всех j=1, ..., п , k, l = 1, ..., т, то k-ю стратегию принимающего решения игрока 1 можно не рассматривать и вычеркнуть из мат­рицы игры. Столбцы, отвечающие стратегиям природы, вычер­кивать из матрицы игры (исключать из рассмотрения) недопус­тимо, поскольку природа не стремится к выигрышу в «игре» с человеком, для нее нет целенаправленно выигрышных или про­игрышных стратегий, она действует неосознанно*.

* Впрочем, в матричных представлениях игр с природой значения выигры­шей принимающего решения игрока не всегда располагаются по строкам. Это допустимо делать и по столбцам, принимая ЛПР как игрока 2, понимая, одна­ко, что мажорировать можно только стратегии принимающего решения игрока. Такой подход осуществлен в некоторых задачах, представленных в гл. 6 - 8 настоящего учебного пособия.

 

На первый взгляд отсутствие обдуманного противодействия упрощает игроку задачу выбора решения. Однако, хотя ЛПР никто не мешает, ему труднее обосновать свой выбор, поскольку в этом случае гарантированный результат не известен.

Методы принятия решений в играх с природой зависят от характера неопределенности, точнее от того, известны или нет вероятности состояний (стратегий) природы, т.е. имеет ли место ситуация риска или неопределенности. Ниже будут описаны методы, применяемые в обоих случаях.

Рассмотрим организацию и аналитическое представление игры с природой. Пусть игрок 1 имеет т возможных стратегий: А1, A2 , ... , Аm, а у природы имеется п возможных состояний (стра­тегий): П1, П2, ..., Пn, тогда условия игры с природой задаются матрицей А выигрышей игрока 1:

Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объединенных в понятие «природа»).

Возможен и другой способ задания матрицы игры с приро­дой: не в виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков R = ||rij||m,n или матрицы упущенных возможно­стей. Величина риска - это размер платы за отсутствие инфор­мации о состоянии среды. Матрица R может быть построена не­посредственно из условий задачи или на основе матрицы выиг­рышей А.

Риском rij игрока при использовании им стратегии Аi и при состоянии среды Пj будем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он знал, что состоянием среды будет Пj, и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации.

Зная состояние природы (стратегию) Пj, игрок выбирает ту стратегию, при которой его выигрыш максимальный, т.е. rij = bj – aij при заданном j. Например, для мат­рицы выигрышей

Согласно введенным определениям rij и bj получаем матрицу рисков

Независимо от вида матрицы игры требуется выбрать такую стратегию игрока (чистую или смешанную, если последняя име­ет смысл), которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими. Необходимо отметить, что в игре с природой понятие смешанной стратегии игрока не всегда правомерно, поскольку его действия могут быть альтернативными, т.е. выбор одной из стратегий отвергает все другие стратегии (например, выбор аль­тернативных проектов). Прежде всего следует проверить, нет ли среди стратегий игрока мажорируемых, и, если таковые имеют­ся, исключить их.

3.2.

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероятностях состоянии среды (природы), называют «безнадеж­ной» или «дурной».

В таких случаях для определения наилучших решении ис­пользуются следующие критерии: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Альтернативные подходы, в частности принципы Байеса - Лапласа, рассматриваются в разд. 6.2.1.

Применение каждого из перечисленных критериев проиллю­стрируем на примере матрицы выигрышей (3.1) или связанной с ней матрицы рисков (3.2).

Критерий максимакса. С его помощью определяется страте­гия, максимизирующая максимальные выигрыши для каждого состояния природы. Это критерий крайнего оптимизма. Наилуч­шим признается решение, при котором достигается максималь­ный выигрыш, равный .

Нетрудно увидеть, что для матрицы А наилучшим решением будет А1, при котором достигается максимальный выигрыш - 9.

Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия, в экономике в общем нередки, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствовать­ся принципом «или пан, или пропал».

Максиминный критерий Вальда. С позиций данного крите­рия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник типа тех, которые проти­водействуют в стратегических играх (см. гл. 2). Выбирается ре­шение, для которого достигается значение .

Для платежной матрицы А (3.1) нетрудно рассчитать:

• для первой стратегии (i = 1) ;

• для второй стратегии (i=2) ;

для третьей стратегии (i=3) .

Тогда , что соответствует второй стратегии A2 игрока 1.

В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудач­ных результатов выбирается лучший (W = 3). Это перестрахо­вочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда игрок не столь заинтересован в крупной удаче, но хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей. Выбор такой стратегии определя­ется отношением игрока к риску.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличи­ем, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей А (3.1), а матрицей рисков R (3.2):

Для матрицы R (3.2) нетрудно рассчитать:

• для первой стратегии (i=1) ;

для второй стратегии (i=2) ;

• для третьей стратегии (i=3) .

Минимально возможный из самых крупных рисков, равный 4, достигается при использовании первой стратегии А1.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым сред­ним результатом, характеризующим состояние между крайним пес­симизмом и безудержным оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия в матрице А выбирается в соответствии со значением

При p = 0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным кри­терием, а при р = 1 - с критерием Вальда. Покажем процедуру применения данного критерия для матрицы А (3.1) при р = 0,5:

• для первой стратегии

• для второй стратегии

для третьей стратегии

 

Тогда , т.е. оптимальной является вторая стратегия А2.

Применительно к матрице рисков R критерий пессимизма-оптимизма Гурвица имеет вид:

При р = 0 выбор стратегии игрока 1 осуществляется по ус­ловию наименьшего из всех возможных рисков ( ); при р = 1 - по критерию минимаксного риска Сэвиджа.

В случае, когда по принятому критерию рекомендуется к использованию несколько стратегий, выбор между ними может делаться по дополнительному критерию, например в расчет могут приниматься средние квадратичные отклонения от средних вы­игрышей при каждой стратегии. Данная идея отвечает подходу, рассмотренному в разд.1.2 (см. рис. 1.1). Еще раз подчеркнем, что здесь стандартного подхода нет. Выбор может зависеть от склонности к риску ЛПР.

В заключение приведем результаты применения рассмотрен­ных выше критериев на примере следующей матрицы выигры­шей:

Для игрока 1 лучшими являются стратегии:

• по критерию Вальда – А3,

• по критерию Сэвиджа – А2 и А3,

по критерию Гурвица (при р = 0,6) – А3;

по критерию максимакса – А4.

Поскольку стратегия А3, фигурирует в качестве оптимальной по трем критериям выбора из четырех испытанных, степень ее надежности можно признать достаточно высокой для того, что­бы рекомендовать эту стратегию к практическому применению.

Таким образом, в случае отсутствия информации о вероят­ностях состоянии среды теория не дает однозначных и матема­тически строгих рекомендации по выбору критериев принятия решений. Это объясняется в большей мере не слабостью тео­рии, а неопределенностью самой ситуации. Единственный ра­зумный выход в подобных случаях - попытаться получить до­полнительную информацию, например, путем проведения ис­следований или экспериментов. В отсутствие дополнительной информации принимаемые решения теоретически недостаточ­но обоснованы и в значительной мере субъективны. Хотя при­менение математических методов в играх с природой не дает абсолютно достоверного результата и последний в определен­ной степени является субъективным (вследствие произвольно­сти выбора критерия принятия решения), оно тем не менее создает некоторое упорядочение имеющихся в распоряжении ЛПР данных: задаются множество состояний природы, альтер­нативные решения, выигрыши и потери при различных сочета­ниях состояния «среда - решение». Такое упорядочение пред­ставлений о проблеме само по себе способствует повышению качества принимаемых решений.

3.3.

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА

Методы принятия решении в условиях риска разрабатывают­ся и обосновываются в рамках так называемой теории статисти­ческих решений. При этом в случае «доброкачественной», или стохастической, неопределенности, когда состояниям природы поставлены в соответствие вероятности, заданные экспортно либо вычисленные, решение обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша или минимума ожи­даемого среднего риска (матрицы типа (3.1) либо (3.2)).

Если для некоторой игры с природой, задаваемой платежной матрицей А = ||aij||m,n, стратегиям природы Пj соответствуют ве­роятности рj, то лучшей стратегией игрока 1 будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, т.е.

Применительно к матрице рисков (матрице упущенных вы­год) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск:

 

Заметим, что когда говорится о среднем выигрыше или рис­ке, то подразумевается многократное повторение акта принятия решений. Условность предположения заключается в том, что реально требуемого количества повторений чаще всего может и не быть.

Покажем, что критерии (3.3) и (3.4) эквивалентны в том смысле, что оптимальные значения для них обеспечивает одна и та же стратегия Аi, игрока 1. Действительно,

т.е. значения критериев отличаются на постоянную величину, поэтому принятое решение не зависит от стратегии Аi.

Например, для игры, задаваемой матрицей А (3.1) или матри­цей R (3.2), при условии, что р1 = р2 = р3 = р4 = 1/4, А1 - лучшая стратегия игрока 1 по критерию (3.3), поскольку

Эта же стратегия является лучшей для игрока 1 по критерию (3.4) относительно обеспечения минимального уровня риска:

На практике целесообразно отдавать предпочтение матрице выигрышей (3.1) или матрице рисков (3.2) в зависимости от того, какая из них определяется с большей достоверностью. Это осо­бенно важно учитывать при экспертных оценках элементов мат­риц А и R.

3.4. ВЫБОР РЕШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ (ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ)

Рассмотрим более сложные (позиционные, или многоэтапные) решения в условиях риска. Одноэтапные игры с природой, таб­лицы решений (см. разд.3.3), удобно использовать в задачах, имеющих одно множество альтернативных решений и одно множество состояний среды. Многие задачи, однако, требуют анализа последовательности решений и состояний среды, когда одна совокупность стратегий игрока и состояний природы по­рождает другое состояние подобного типа. Если имеют место два или более последовательных множества решений, причем последующие решения основываются на результатах предыду­щих, и/или два или более множества состояний среды (т.е. появ­ляется целая цепочка решений, вытекающих одно из другого, которые соответствуют событиям, происходящим с некоторой вероятностью), используется дерево решений.

Дерево решений — это графическое изображение последова­тельности решений и состояний среды с указанием соответству­ющих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций аль­тернатив и состояний среды.

3.4.1. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ

В постановочном плане рассмотрим несколько задач, кото­рые могут быть решены с помощью данного метода.

Задача 3.2. Разведывательное бурение скважин. Некоторая нефтяная разведывательная партия должна решить, стоит ли бу­рить скважины на данном участке до того, как истечет срок кон­тракта. Для руководителей партии не ясны многие обстоятельства:

• в какую сумму обойдется стоимость бурения, зависящая от качества грунта, глубины залегания нефти и т.д.;

• на какие запасы нефти в этом месте можно рассчитывать;

• сколько будет стоить эксплуатация скважины.

В распоряжении руководства имеются объективные данные об аналогичных и не вполне похожих скважинах этого типа. При помощи сейсмической разведки можно получить дополнитель­ную информацию, которая, однако, не дает исчерпывающих све­дений о геофизической структуре разведываемого участка. Кро­ме того, получение сейсмической информации стоит недешево, поэтому еще до того, как будет принято окончательное решение (бурить или нет), следует определить, есть ли необходимость собирать эти сведения.

Задача 3.3. Выпуск нового товара. Большая химическая ком­пания успешно завершила исследования по усовершенствованию строительной краски. Руководство компании должно решить, производить эту краску самим (и если - да, то какой мощности строить завод) либо продать патент или лицензию, а также тех­нологию независимой фирме, которая имеет дело исключитель­но с производством и сбытом строительной краски. Основные источники неопределенности:

• рынок сбыта, который фирма может обеспечить при прода­же новой краски по данной цене;

• расходы на рекламу, если компания будет сама производить и продавать краску;

• время, которое потребуется конкурентам, чтобы выпустить на рынок подобный товар (успеет ли компания за этот срок окупить затраты, понесенные для того, чтобы стать лидером в данной сфере производства).

Компания может получить некоторые дополнительные све­дения, имеющие косвенное отношение к проблемам проникно­вения конкурентов на рынок сбыта, опросив часть поставщиков краски. Но к материалам опросов следует относиться с осторож­ностью, ибо поставщики в действительности могут поступать не так, как они первоначально предполагают. В качестве подтверж­дения последнего суждения можно привести исследования, про­веденные американскими автомобильными корпорациями для того, чтобы определить спрос на большие легковые автомобили. Несмотря на надвигающийся энергетический кризис 1971-1973 гг., результаты анкетирования показали, что американские покупате­ли по-прежнему предпочитают многоместные легковые автомо­били. Однако на деле все произошло с точностью до наоборот, и на рынке стали пользоваться спросом небольшие, экономич­ные машины. Такие результаты опроса могут быть частично объяснены скрытностью человеческого характера, и это должно учитываться при принятии решений.

Предыдущая статья:ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 2 страница Следующая статья:ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 4 страница
page speed (0.0281 sec, direct)