Всего на сайте:
303 тыс. 117 статей

Главная | Математика

Доказательство.  Просмотрен 198

 

Пусть

 

По теореме Лагранжа: f(x) – f(x1) = f¢(e)(x – x1), где x < e < x1.

 

Тогда: 1) Если х < x1, то e < x1; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x1)<0, следовательно

 

f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).

 

2) Если х > x1, то e > x1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x1)<0, следовательно

 

f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x1) в любых точках вблизи х1, т.е. х1 – точка максимума.

 

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

 

Теорема доказана.

 

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

 

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

 

 

Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков.

 

Пусть в точке х = х1 f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

 

Теорема. Если f¢(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f¢¢(x1)<0 и минимум, если f¢¢(x1)>0.

 

Предыдущая статья:Доказательство. Следующая статья:Доказательство.
page speed (0.0131 sec, direct)